Lý thuyết Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất
A. Lý thuyết
1. Biến cố
|
Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà kết quả của nó không thể được dự đoán trước khi phép thử được thực hiện. Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Không gian mẫu của phép thử được ký hiệu là Ω. Kết quả thuận lợi cho một biến cố E liên quan tới phép thử T là kết quả của phép thử T làm cho biến cố đó xảy ra. |
Chú ý: Ta chỉ xét các phép thử mà không gian mẫu gồm hữu hạn kết quả.
|
Mỗi biến cố là một tập hợp con của không gian mẫu Ω. Tập con này là tất cả các kết quả thuận lợi cho biến cố đó. |
Nhận xét: Biến cố chắc chắn là tập Ω, biến cố không thể là tập ∅.
|
Biến cố đối của biến cố E là biến cố “E không xảy ra”. Biến cố đối của E được kí hiệu là . |
Nhận xét: Nếu biến cố E là tập con của không gian mẫu Ω thì biến cố đối là tập hợp tất cả các phần tử của Ω mà không là phần tử của E. Vậy biến cố là phần bù của E trong Ω: .
2. Định nghĩa cổ điển của xác suất
Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau:
Xét phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả có thể xảy ra và khả năng xảy ra của từng kết quả là giống nhau. Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử đó. Khi đó, với mỗi biến cố A, ta có định nghĩa cổ điển của xác suất như sau:
|
Cho phép thử T có không gian mẫu là Ω. Giả thiết rằng các kết quả có thể của T là đồng khả năng. Khi đó nếu E là một biến cố liên quan đến phép thử T thì xác suất của E được cho bởi công thức trong đó n(E), n(Ω) tương ứng là số phần tử của tập Ω và tập E. |
Nhận xét:
+ ; .
+ với mỗi biến cố E.
3. Nguyên lí xác suất bé
Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.
Tuy nhiên, một xác suất như thế nào được xem là bé phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể.
B. Bài tập
Bài 1: Một hộp có 1 quả bóng xanh, 1 quả bóng đỏ, 1 quả bóng vàng; các quả bóng có kích thước và khối lượng giống nhau. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ trong hộp, ghi lại màu của quả bóng được lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Xét phép thử “Lấy ngẫu nhiên tiếp 2 quả bóng trong hộp”. Hãy cho biết không gian mẫu của phép thử đó.
Giải:
Không gian mẫu của phép thử trên là tập hợp Ω = {XX; XD; XV; ĐD; ĐV; DX; DV; VX; VD}, ở đó, chẳng hạn XD là kết quả “Lần thứ nhất lấy ra quả bóng xanh, lần thứ hai lấy ra quả bóng đỏ”.
Bài 2: Gieo một đồng xu cản đối liên tiếp ba lần. Gọi E là biến cố: “Có hai lần xuất hiện mặt sấp và một lần xuất hiện mặt ngửa". Tính xác suất của biến cố E.
Giải:
Kí hiệu S và N tương ứng là đồng xu ra mặt sấp và đồng xu ra mặt ngửa.
Không gian mẫu Ω = {SSN; SNS; SNN; SSS; NSN; NNS; NNN; NSS}.
E = {SSN; SNS; NSS}.
Ta có n(Ω) = 8; n(E) = 3. Do đồng xu cân đối nên các kết quả có thể là đồng khả năng.
Vậy .
Bài 3: Gieo một con xúc xắc 6 mặt và quan sát số chấm xuất hiện trên con xúc xắc.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Gọi M là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số chẵn". Nội dung biến cố đối M của M là gì?
c) Các biến cố M và là tập con nào của không gian mẫu?
Giải:
a) Không gian mẫu Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
b) Biến cố đối M của M là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số lẻ”.
c) Ta có ; .
