Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto

A. Lý thuyết

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vecto, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vecto

Nếu $\vec{u} = (x_{1}; y_{1})$ và $\vec{v} = (x_{2}; y_{2})$ thì:

+ $\vec{u} + \vec{v} = (x_{1} + x_{2}; y_{1} + y_{2})$ .

+ $\vec{u} - \vec{v} = (x_{1} - x_{2}; y_{1} - y_{2})$ .

k \vec{u} = (k x_{1}; k y_{1})

với

k \in R

Nhận xét: Hai vecto $\vec{u} = (x_{1}; y_{1})$ và $\vec{v} = (x_{2}; y_{2})$ $(\vec{v} \neq \vec{0})$ cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k sao cho $x_{1} = k x_{2}$ và $y_{1} = k y_{2}$ .

2. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm tam giác

a) Tọa độ trung điểm đoạn thẳng

Cho hai điểm

A (x_{A}; y_{A})

và

B (x_{B}; y_{B})

. Nếu

M (x_{M}; y_{M})

là trung điểm đoạn thẳng AB thì

x_{M} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2}

;

y_{M} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2}

b) Tọa độ trọng tâm tam giác

Cho tam giác ABC có

A (x_{A}; y_{A})

B (x_{B}; y_{B})

C (x_{C}; y_{C})

. Nếu

G (x_{G}; y_{G})

là trọng tâm tam giác ABC thì

x_{M} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}

;

y_{M} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Nếu

\vec{u} = (x_{1}; y_{1})

và

\vec{v} = (x_{2}; y_{2})

thì

\vec{u} . \vec{v} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

Nhận xét:

a) Nếu $\vec{a} = (x; y)$ thì $| \vec{a} | = \sqrt{\vec{a} . \vec{a}} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

b) Nếu $A (x_{A}; y_{A})$ và $B (x_{B}; y_{B})$ thì $A B = | \vec{A B} | = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}}$ .

c) Với hai vecto $\vec{u} = (x_{1}; y_{1})$ và $\vec{v} = (x_{2}; y_{2})$ đều khác $\vec{0}$ , ta có:

+ $\vec{u}$ vuông góc $\vec{v}$ khi và chỉ khi $\vec{u} . \vec{v} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ .

+ $\cos (\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{| \vec{u} | . | \vec{v} |} = \frac{x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}}{\sqrt{{x_{1}}^{2} + {y_{1}}^{2}} . \sqrt{{x_{2}}^{2} + {y_{2}}^{2}}}$ .

B. Bài tập

Bài 1: Cho $\vec{u} = (2; - 1)$ , $\vec{v} = (1; 5)$ . Tìm tọa độ của $\vec{u} + \vec{v}$ và $\vec{u} - \vec{v}$ .

Giải:

$\vec{u} + \vec{v} = (2 + 1; - 1 + 5) = (3; 4)$ ;

$\vec{u} - \vec{v} = (2 - 1; - 1 - 5) = (1; - 6)$ .

Bài 2: Cho ba điểm A(-1;-3), B(2;3) và C(3;5). Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Giải:

Ta có: $\vec{A B} = (3; 6)$ , $\vec{B C} = (1; 2)$ . Suy ra $\vec{A B} = 3 \vec{B C}$ .

Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Bài 3: Cho tam giác ABC có A(-2; 1), B(2; 5), C(5; 2). Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB và trọng tâm G của tam giác ABC.

Giải:

Do $M (x_{M}; y_{M})$ là trung điểm của đoạn thẳng AB nên:

$x_{M} = \frac{- 2 + 2}{2} = 0$ ; $y_{M} = \frac{1 + 5}{2} = 3$ .

Vậy M(0; 3).

Do $G (x_{G}; y_{G})$ là trọng tâm tam giác ABC nên:

$x_{G} = \frac{- 2 + 2 + 5}{3} = \frac{5}{3}$ ;

$y_{G} = \frac{1 + 5 + 2}{3} = \frac{8}{3}$ .

Vậy $G (\frac{5}{3}; \frac{8}{3})$ .

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 2), B(1; -1), C(8; 0).

a) Tính $\vec{B A} . \vec{B C}$ và $\cos \hat{A B C}$ .

b) Chứng minh $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ .

c) Giải tam giác ABC.

Giải:

a) Ta có $\vec{B A} = (1; 3)$ , $\vec{B C} = (7; 1)$ .

Do đó $\vec{B A} . \vec{B C} = 1.7 + 3.1 = 10$ .

Mặt khác: $| \vec{B A} | = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}$ , $| \vec{B C} | = \sqrt{7^{2} + 1^{2}} = \sqrt{50}$ .

$\cos \hat{A B C} = \cos (\vec{B A}, \vec{B C}) = \frac{\vec{B A} . \vec{B C}}{| \vec{B A} | . | \vec{B C} |} = \frac{10}{\sqrt{10} . \sqrt{50}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

b) Có $\vec{A B} = (- 1; - 3)$ và $\vec{A C} = (6; - 2)$ nên:

$\vec{A B} . \vec{A C} = (- 1) .6 + (- 3) . (- 2) = 0$ .

Vậy $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ .

c) Do $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ nên $\hat{B A C} = 90^{o}$ , tức tam giác ABC vuông tại A.

Mà $\cos \hat{A B C} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ nên $\hat{A B C} \approx 63^{o}$ . Vì vậy $\hat{A C B} \approx 90^{o} - 63^{o} = 27^{o}$ .

Mặt khác: $A B = | \vec{B A} | = \sqrt{10}$ , $B C = | \vec{B C} | = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$ ,

$C A = \sqrt{B C^{2} - A B^{2}} = \sqrt{{(5 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{10})}^{2}} = 2 \sqrt{10}$ .