Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto Toán 12 Cùng khám phá

1. Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu các vecto và tích của một số với một vecto

Trong không gian Oxyz, cho hai vecto $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ . Ta có:

+) $\vec{a} + \vec{b} = (x + x^{'}; y + y^{'}; z + z^{'})$ .

+) $\vec{a} - \vec{b} = (x - x^{'}; y - y^{'}; z - z^{'})$ .

+) $k \vec{a} = (k x; k y; k z)$ với k là một số thực.

Ví dụ: Cho $\vec{a} = (2; - 1; 5), \vec{b} = (0; 3; - 3), \vec{c} = (1; 4; - 2)$ . Tìm tọa độ của vecto $\vec{d} = 2 \vec{a} - \frac{1}{5} \vec{b} + 3 \vec{c}$ .

Lời giải:

Ta có: $2 \vec{a} = (4; - 2; 10); \frac{1}{5} \vec{b} = (0; 3; - 3), 3 \vec{c} = (3; 12; - 6)$ .

Do đó $\vec{d} = (4 - 0 + 3; - 2 - \frac{3}{5} + 12; 10 - (- \frac{3}{5}) + (- 6))$ hay $\vec{d} = (7; \frac{47}{5}; \frac{23}{5})$ .

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng $A (x_{A}; y_{A}; z_{A}), B (x_{B}; y_{B}; z_{B}), C (x_{C}; y_{C}; z_{C})$ . Khi đó:

+) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là $(\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})$ .

+) Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là

(\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{2})

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho tam giác MNP có M(3;7;2), N(5;1;-1) và P(4;-4;-2). Tìm tọa độ:

a) Trung điểm I của đoạn thẳng MN.

b) Trọng tâm G của tam giác MNP.

Lời giải:

a) Áp dụng công thức tính tọa độ trung điểm M(3;7;2) và N(5;1;-1), ta có $I (\frac{3 + 5}{2}; \frac{7 + 1}{2}; \frac{2 - 1}{2})$ hay I(4;4; $\frac{1}{2}$ ).

b) Áp dụng công thức tính tọa độ trọng tâm theo tọa độ các đỉnh của tam giác MNP, ta có $G (\frac{3 + 5 + 4}{3}; \frac{7 + 1 - 4}{3}; \frac{2 - 1 - 2}{3})$ hay $G (4; \frac{4}{3}; - \frac{1}{3})$ .

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng hai vecto

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto

\vec{a} = (x; y; z)

và

\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})

được xác định bởi công thức

\vec{a} \cdot \vec{b} = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}

Nhận xét: Từ công thức tính tích vô hướng hai vecto theo tọa độ, ta suy ra:

+) Nếu $\vec{a} = (x; y; z)$ thì $| \vec{a} | = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

+) Nếu $A (x_{A}; y_{A}; z_{A}); B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ thì khoảng cách giữa hai điểm A, B là:

$A B = | \vec{A B} | = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}}$

+) Nếu hai vecto $\vec{a} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và $\vec{b} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ khác $\vec{0}$ thì:

$\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}}{\sqrt{{x_{1}}^{2} + {y_{1}}^{2} + {z_{1}}^{2}} . \sqrt{{x_{2}}^{2} + {y_{2}}^{2} + {z_{2}}^{2}}}$

$\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2} = 0$ .