Lý thuyết Các phép tính với đa thức nhiều biến

1. Cộng hai đa thức nhiều biến

Để cộng hai đa thức theo hàng ngang, ta có thể làm như sau:

- Viết tổng hai đa thức theo hàng ngang;

- Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau;

- Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được tổng cần tìm.

2. Trừ hai đa thức nhiềm biến

Để trừ đa thức P cho đa thức Q theo hàng ngang, ta có thể làm như sau:

- Viết hiệu P và Q theo hàng ngang, trong đó đa thức Q được đặt trong dấu ngoặc;

- Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức của đa thức Q, nhóm các đơn thức dồng dạng với nhau;

- Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được hiệu cần tìm.

Ví dụ:

Cho hai đa thức $A = 3 x^{2} - x y$ và $B = x^{2} + 2 x y - y^{2}$

$\begin{array}{l} A + B = (3 x^{2} - x y) + (x^{2} + 2 x y - y^{2}) \\ = 3 x^{2} - x y + x^{2} + 2 x y - y^{2} \\ = (3 x^{2} + x^{2}) + (- x y + 2 x y) - y^{2} \\ = 4 x^{2} + x y - y^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} A - B = (3 x^{2} - x y) - (x^{2} + 2 x y - y^{2}) \\ = 3 x^{2} - x y - x^{2} - 2 x y + y^{2} \\ = (3 x^{2} - x^{2}) + (- x y - 2 x y) + y^{2} \\ = 2 x^{2} - 3 x y + y^{2} \end{array}$

3. Nhân đa thức

Nhân hai đơn thức

Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau, nhân các phần biến với nhau; thu gọn đơn thức nhận được ở tích.

Ví dụ: $(- 3 x^{2} y) (4 x y) = [(- 3.4)] . (x^{2} . x) . (y . y) = - 12. x^{3} . y^{2}$

Nhân đơn thức với đa thức

Để nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức, rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l} 3 x^{2} y (2 x^{2} y - x y + 3 y^{2}) \\ = (3 x^{2} y) . (2 x^{2} y) - (3 x^{2} y) . (x y) + (3 x^{2} y) . (3 y^{2}) \\ = 3.2. (x^{2} . x^{2}) (y . y) - 3. (x^{2} . x) . (y . y) + 3.3. x^{2} . (y . y^{2}) \\ = 6 x^{4} y^{2} - 3 x^{3} . y^{2} + 9 x^{2} y^{3} \end{array}$

Nhân hai đa thức

Để nhân hai đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia, rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l} (x y + 1) (x y - 3) \\ = (x y) . (x y) + x y - 3 x y - 3 \\ = x^{2} y^{2} - 2 x y - 3 \end{array}$

4. Chia đa thức cho đơn thức

Hai đơn thức chia hết cho nhau

Đơn thức A chia hết cho đơn thức B ( $B \neq 0$ ) khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.

Chia đa thức cho đơn thức

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (với A chia hết cho B), ta làm như sau:

- Chia hệ số của A cho hệ số của B.

- Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.

- Nhân các kết quả vừa tìm được cho nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l} 16 x^{4} y^{3} : (- 8 x^{3} y^{2}) \\ = (16 : (- 8)) . (x^{4} : x^{3}) . (y^{3} : y^{2}) \\ = - 2 x y \end{array}$

Đa thức chia hết cho đơn thức

Đa thức A chia hết cho B ( $B \neq 0$ ) khi mỗi đơn thức của A chia hết cho B.

Chia đa thức cho đơn thức

Muốn chia một đa thức cho một đơn thức (trường hợp chia hết), ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức đó, rồi cộng các kết quả tìm được với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l} (x^{2} y + y^{2} x) : x y \\ = x^{2} y : x y + y^{2} x : x y \\ = x + y \end{array}$