Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm - Toán 11 Kết nối tri thức

A. Lý thuyết

1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng (a; b). Khi đó

$\begin{array}{c}{\left(u+v\right)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime };\\ {\left(u-v\right)}^{\prime }=u^{\prime }-v^{\prime };\\ {\left(uv\right)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime };\\ {\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}\left(v=v\left(x\right)\ne 0\right);\end{array}$

${\left(ku\right)}^{\prime }=k{u}^{\prime }$ (k là hằng số);

${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\prime }=-\frac{v^{\prime }}{v^2}\left(v\ne 0\right)$.

2. Đạo hàm của hàm hợp

Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là $u{}_x^{\prime }$ và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là $y{}_u^{\prime }$ thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là $y{}_x^{\prime }=y{}_u^{\prime }.u{}_x^{\prime }$.

3. Bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp

B. Bài tập

B. Bài tập

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số $y=x^5-x^3+x-10$.

Giải:

$y^{\prime }={\left(x^5\right)}^{\prime }-{\left(x^3\right)}^{\prime }+{\left(x\right)}^{\prime }-{\left(10\right)}^{\prime }$

$=5x^4-3x^2+1$.

Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=4x^2-\frac{\sqrt{x}}{2}+\frac{5}{x}$.

b) $y=(2x^3+1)(\sqrt{x}-3)$.

c) $y=\frac{2x-1}{x+1}$.

Giải:

a) Với x > 0, ta có:

$y=4{\left(x^2\right)}^{\prime }-\frac{1}{2}{\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }+5{\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }$

$=8x-\frac{1}{4\sqrt{x}}-\frac{5}{x^2}$.

b) Với x > 0, ta có:

$y^{\prime }=(2x^3+1{)}^{\prime }(\sqrt{x}-3)+(2x^3+1\left)\right(\sqrt{x}-3{)}^{\prime }$

$=6x^2(\sqrt{x}-3)+(2x^3+1)\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

c) Với $x\ne -1$, ta có:

$y^{\prime }=\frac{{\left(2x-1\right)}^{\prime }\left(x+1\right)-\left(2x-1\right){\left(x+1\right)}^{\prime }}{{\left(x+1\right)}^2}$

$=\frac{2(x+1)-(2x-1)}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{3}{{\left(x+1\right)}^2}$.

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=(x^2+x{)}^8$.

b) $y=\frac{1}{\sqrt{x}+1}$.

Giải:

a) $y={\left[{(x^2+x)}^8\right]}^{\prime }$

$=(x^2+x{)}^{\prime }.8(x^2+x{)}^{8-1}$

$=8(2x+1)(x^2+x{)}^7$.

b) $y^{\prime }={\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right)}^{\prime }$

$=\frac{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^{\prime }}{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}$

$=\frac{1}{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}.\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=2\sin x-3\cos x$.

b) $y=x\tan x$.

c) $y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$.

d) $y={\cos }^{3}3x$.

Giải:

a) $y^{\prime }=2{\left(\sin x\right)}^{\prime }-3{\left(\cos x\right)}^{\prime }$

$=2\cos x+3\sin x$.

b) Với $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ $(k\in Z)$, ta có:

$y=x^{\prime }.\tan x+x.(\tan x{)}^{\prime }$

$=\tan x+\frac{x}{{\cos }^{2}x}$.

c) $y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$.

d) $y^{\prime }=3{\cos }^{2}3x.(\cos 3x{)}^{\prime }$

$=-3{\cos }^{2}3x.(3x{)}^{\prime }.\sin 3x$

$=-9{\cos }^{2}3x.\sin 3x$.

Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=3^{2x^2-x}$.

b) $y={\log }_2(x^2+2x+3)$.

c) $y=x{e}^x$.

Giải:

a) $y^{\prime }=(2x^2-x{)}^{\prime }{.3}^{2x^2-x}.\ln 3$

$=(4x-1){.3}^{2x^2-x}.\ln 3$.

b) $y^{\prime }=\frac{(x^2+2x+3{)}^{\prime }}{(x^2+2x+3)\ln 2}$

$=\frac{2x+2}{(x^2+2x+3)\ln 2}$.

c) $y^{\prime }=(x{)}^{\prime }{e}^x+x(e^x{)}^{\prime }$

$=e^x+x{e}^x$.