Lý thuyết Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm - Toán 11 Cánh diều

A. Lý thuyết

1. Mẫu số liệu ghép nhóm

a) Bảng tần số ghép nhóm

- Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm.

- Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng [a; b), trong đó a là đầu mút trái, b là đầu mút phải. Độ dài nhóm là b – a.

- Tần số của một nhóm là số số liệu trong mẫu số liệu thuộc vào nhóm đó. Tần số của nhóm 1, nhóm 2, …, nhóm m kí hiệu lần lượt là n₁, n₂, …, n_m.

- Bảng tần số ghép nhóm được lập như ở Bảng 1, trong đó mẫu liệu gồm n số liệu được chia thành m nhóm ứng với m nửa khoảng [a₁; a₂); [a₂; a₃); …;[a_m; a_m+1), ở đó

a₁ < a₂ < … < a_m < a_m+1 và n = n₁ + n₂ + … + n_m.

b) Ghép nhóm mẫu số liệu. Tần số tích lũy

Để chuyển mẫu số liệu không ghép nhóm thành mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện như sau:

- Chia miền giá trị của mẫu số liệu thành một số nhóm theo tiêu chí cho trước;

- Đếm số giá trị của mẫu số liệu thuộc mỗi nhóm (tần số) và lập bảng tần số ghép nhóm.

Chú ý: Khi ghép nhóm số liệu, ta thường phân chia các nhóm có độ dài bằng nhau và đầu mút của các nhóm có thể không phải là giá trị của mẫu số liệu. Nhóm cuối cùng có thể là [a_m; a_m+1].

- Tần số tích lũy của một nhóm là số số liệu trong mẫu số liệu có giá trị nhỏ hơn giá trị đầu mút phải của nhóm đó. Tần số tích lũy của nhóm 1, nhóm 2, …, nhóm m kí hiệu lần lượt là $c f_{1}, c f_{2}, . . ., c f_{m}$ .

- Bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy được lập như ở Bảng 2.

2. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

a) Số trung bình cộng

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở bảng 3, trong đó giá trị đại diện của nhóm là trung điểm x_i của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng của hai đầu mút) ứng với nhóm i.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $\bar{x}$ , được tính theo công thức

$\bar{x} = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + . . . + n_{m} x_{m}}{n}$ .

b) Trung vị

Cho mẫu số liệu ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như ở Bảng 2.

Giả sử nhóm k là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2}$ , tức là $c f_{k - 1} < \frac{n}{2}$ nhưng $c f_{k} \geq \frac{n}{2}$ . Ta gọi r, d, n_k lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm k; cf_k-1 là tần số tích lũy của nhóm k – 1.

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu M_e, được tính theo công thức sau:

$M_{e} = r + (\frac{\frac{n}{2} - c f_{k - 1}}{n_{k}}) . d$ .

Quy ước: cf₀ = 0.

c) Tứ phân vị

Cho mẫu số liệu ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như ở Bảng 2.

- Tứ phân vị thứ hai, kí hiệu Q₂, bằng trung vị M_e.

- Giả sử nhóm p là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4}$ , tức là $c f_{p - 1} < \frac{n}{4}$ nhưng $c f_{p} \geq \frac{n}{4}$ . Ta gọi s, h, n_p lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm p; cf_p-1 là tần số tích lũy của nhóm p – 1.

Tứ phân vị thứ nhất, kí hiệu Q₁, được tính bằng công thức sau:

$Q_{1} = s + (\frac{\frac{n}{4} - c f_{p - 1}}{n_{p}}) . h$ .

- Giả sử nhóm q là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{3 n}{4}$ , tức là $c f_{q - 1} < \frac{3 n}{4}$ nhưng $c f_{q} \geq \frac{3 n}{4}$ . Ta gọi t, l, n_q lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm q; cf_q-1 là tần số tích lũy của nhóm q – 1.

Tứ phân vị thứ ba, kí hiệu Q₃, được tính bằng công thức sau:

$Q_{3} = t + (\frac{\frac{3 n}{4} - c f_{q - 1}}{n_{q}}) . l$ .

d) Mốt

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở Bảng 1.

Giả sử nhóm i là nhóm có tần số lớn nhất. Ta gọi u, g, n_i lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm i; n_i-1, n_i-1 lần lượt là tần số của nhóm i – 1, nhóm i + 1.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu M_o, được tính theo công thức sau:

$M_{o} = u + (\frac{n_{i} - n_{i - 1}}{2 n_{i} - n_{i - 1} - n_{i + 1}}) . g$ .

Quy ước: n₀ = 0; n_m+1= 0.

B. Bài tập

1) Một nhà thực vật học đo chiều dài của 74 lá cây (đơn vị: milimét) và thu được bằng tần số như bảng.

Tính chiều dài trung bình của 74 lá cây trên theo đơn vị milimét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Giải:

Chiều dài trung bình của 74 lá cây mà nhà thực vật học đo xấp xỉ là:

$\bar{x} = \frac{5.5, 65 + 9.6, 05 + 15.6, 45 + 19.6, 85 + 16.7, 25 + 8.7, 65 + 2.8, 05}{74} \approx 6, 80$ (mm).

2) Tìm cân nặng trung bình của học sinh lớp 11D cho trong bảng.

Giải:

Trong mỗi khoảng cân nặng, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tổng số học sinh là n = 42. Cân nặng trung binh của học sinh lớp 11D là:

$\bar{x} = \frac{10.43 + 7.48 + 16.53 + 4.58 + 2.63 + 3.68}{42} \approx 51, 81$ (kg).

3) Kết quả kiếm tra môn Toán của lớp 11D lập thành bảng tần số ghép nhóm như sau:

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Giải:

Nhóm 2 ứng với nửa khoảng [5; 7) là nhóm có tần số lớn nhất với u = 5; g = 2; $u_{2} = 18$ . Nhóm 1 có tần số $n_{1} = 5$ , nhóm 3 có tần số $n_{3} = 10$ . Áp dụng công thức, ta có mốt của mẫu số liệu là:

$M_{o} = 5 + (\frac{18 - 5}{2.18 - 5 - 10}) .2 \approx 6, 2$ .

4) Bảng số liệu ghép nhóm sau cho biết chiều cao (cm) của 50 học sinh lớp 11A.

Tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này. Có thể kết luận gì từ giá trị tính được?

Giải:

Tần số lớn nhất là 14 nên nhóm chứa mốt là nhóm [150; 155).

Do đó $M_{o} = 150 + \frac{14 - 7}{(14 - 7) + (14 - 10)} .5 \approx 153, 18$ .

5) Tìm tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm thời gian truy cập Internet mỗi tối của một số học sinh:

Giải:

Cỡ mẫu: n = 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56.

Tứ phân vị thứ nhất là $Q_{1}$ là $\frac{x_{14} + x_{15}}{2}$ . Do $x_{14}$ , $x_{15}$ đều thuộc nhóm [12,5; 15,5) nên nhóm này chứa $Q_{1}$ . Do đó p = 2; $a_{2} = 12, 5$ ; $m_{2} = 12$ ; $m_{1} = 3$ ; $a_{3} - a_{2} = 3$ và ta có:

$Q_{1} = 12, 5 + \frac{\frac{56}{4} - 3}{12} .3 = 15, 25$ .

Tứ phân vị thứ ba là $Q_{3}$ là $\frac{x_{42} + x_{43}}{2}$ . Do $x_{42}$ , $x_{43}$ đều thuộc nhóm [18,5; 21,5) nên nhóm này chứa $Q_{3}$ . Do đó p = 4; $a_{4} = 18, 5$ ; $m_{4} = 24$ ; $m_{1} + m_{2} + m_{3} = 3 + 12 + 15 = 30$ ; $a_{5} - a_{4} = 3$ và ta có:

$Q_{3} = 18, 5 + \frac{\frac{3.56}{4} - 30}{24} .3 = 20$ .