Lý thuyết Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

A. Lí thuyết

1. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu là

$\bar{x} = \frac{m_{1} x_{1} + . . . + m_{k} x_{k}}{n}$

Trong đó, $n = m_{1} + . . . + m_{k}$ là cỡ mẫu và $x_{i} = \frac{a_{i} + a_{i + 1}}{2}$ (với $i = 1, 2, . . ., k$ ) là giá trị đại diện của nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ .

2. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:

Bước 1: Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ p: $[a_{p}; a_{p + 1})$ .

Bước 2: Trung vị là

$M_{e} = a_{p} + \frac{\frac{n}{2} - (m_{1} + . . . + m_{p - 1})}{m_{p}} . (a_{p + 1} - a_{p})$

Trong đó n là cỡ mẫu, $m_{p}$ là tần số nhóm p. Với $p = 1$ , ta quy ước $m_{1} + . . . + m_{p - 1} = 0$ .

3. Tứ phân vị của mấu số liệu ghép nhóm

Để tính tứ phân vị thứ nhất $Q_{1}$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa $Q_{1}$ , giả sử đó là nhóm thứ p: $[a_{p}; a_{p + 1})$ . Khi đó

$Q_{1} = a_{p} + \frac{\frac{n}{4} - (m_{1} + . . . + m_{_{p - 1}})}{m_{p}} . (a_{p + 1} - a_{p})$

Trong đó n là cỡ mẫu, $m_{p}$ là tần số nhóm p. Với $p = 1$ , ta quy ước $m_{1} + . . . + m_{p - 1} = 0$ .

Để tính tứ phân vị thứ ba $Q_{3}$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa $Q_{3}$ , giả sử đó là nhóm thứ p: $[a_{p}; a_{p + 1})$ . Khi đó

$Q_{3} = a_{p} + \frac{\frac{3 n}{4} - (m_{1} + . . . + m_{_{p - 1}})}{m_{p}} . (a_{p + 1} - a_{p})$

Trong đó n là cỡ mẫu, $m_{p}$ là tần số nhóm p. Với $p = 1$ , ta quy ước $m_{1} + . . . + m_{p - 1} = 0$ .

Tứ phân vị thứ hai $Q_{2}$ chính là trung vị $M_{e}$ .

4. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Để tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Xác định nhóm có tần số lớn nhất (gọi là nhóm chứa mốt), giả sử là nhóm j: $[a_{j}; a_{j + 1})$ .

Bước 2. Mốt được xác định là

$M_{o} = a_{j} + \frac{m_{j} - m_{j - 1}}{(m_{j} - m_{j - 1}) + (m_{j} - m_{j + 1})} . h$

Trong đó, $m_{j}$ là tần số của nhóm j (quy ước $m_{0} = m_{k + 1} = 0$ ) và h là độ dài của nhóm.

Lưu ý:

Người ta chỉ định nghĩa mốt cho mẫu ghép nhóm có độ dài các nhóm bằng nhau. Một mẫu có thể không có mốt hoặc có nhiều hơn một mốt.

Ý nghĩa:

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho mốt của mẫu số liệu gốc, nó được dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.

B. Bài tập

1) Một nhà thực vật học đo chiều dài của 74 lá cây (đơn vị: milimét) và thu được bằng tần số như bảng.

Tính chiều dài trung bình của 74 lá cây trên theo đơn vị milimét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Giải:

Chiều dài trung bình của 74 lá cây mà nhà thực vật học đo xấp xỉ là:

$\bar{x} = \frac{5.5, 65 + 9.6, 05 + 15.6, 45 + 19.6, 85 + 16.7, 25 + 8.7, 65 + 2.8, 05}{74} \approx 6, 80$ (mm).

2) Tìm cân nặng trung bình của học sinh lớp 11D cho trong bảng.

Giải:

Trong mỗi khoảng cân nặng, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tổng số học sinh là n = 42. Cân nặng trung binh của học sinh lớp 11D là:

$\bar{x} = \frac{10.43 + 7.48 + 16.53 + 4.58 + 2.63 + 3.68}{42} \approx 51, 81$ (kg).

3) Kết quả kiếm tra môn Toán của lớp 11D lập thành bảng tần số ghép nhóm như sau:

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Giải:

Nhóm 2 ứng với nửa khoảng [5;7) là nhóm có tần số lớn nhất với u = 5; g = 2; $u_{2} = 18$ . Nhóm 1 có tần số $n_{1} = 5$ , nhóm 3 có tần số $n_{3} = 10$ . Áp dụng công thức, ta có mốt của mẫu số liệu là:

$M_{o} = 5 + (\frac{18 - 5}{2.18 - 5 - 10}) .2 \approx 6, 2$ .

4) Bảng số liệu ghép nhóm sau cho biết chiều cao (cm) của 50 học sinh lớp 11A.

Tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này. Có thể kết luận gì từ giá trị tính được?

Giải:

Tần số lớn nhất là 14 nên nhóm chứa mốt là nhóm [150;155).

Do đó $M_{o} = 150 + \frac{14 - 7}{(14 - 7) + (14 - 10)} .5 \approx 153, 18$ .

5) Sau khi điều tra về số học sinh trong 100 lớp học, người ta chia mẫu số liệu đó thành năm nhóm căn cứ vào số lượng học sinh của mỗi lớp (đơn vị: học sinh) và lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ như bảng. Tìm trung vị của mẫu số liệu đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Giải:

Số phần tử của mẫu là n = 100. Ta có: $\frac{n}{2} = \frac{100}{2} = 50$ .

Mà 49 < 50 < 79 nên nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 50.

Xét nhóm 4 là nhóm [42;44) có r = 42, d = 2, $n_{4} = 30$ và nhóm 3 là nhóm [40;42) có $c f_{3} = 49$ .

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là:

$M_{e} = 42 + (\frac{\frac{100}{2} - 49}{30}) .2 \approx 42$ (học sinh).

6) Thời gian (phút) truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau:

Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.

Giải:

Cỡ mẫu: n = 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56.

Gọi $x_{1}, . . ., x_{56}$ là thời gian truy cập Internet của 56 học sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là $\frac{x_{28} + x_{29}}{2}$ . Do hai giá trị $x_{28}$ , $x_{29}$ thuộc nhóm [15,5;18,5) nên nhóm này chứa trung vị. Ta có:

$M_{e} = 15, 5 + (\frac{\frac{56}{2} - 15}{15}) .3 = 18, 1$ .

7) Tìm tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm thời gian truy cập Internet mỗi tối của một số học sinh:

Giải:

Cỡ mẫu: n = 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56.

Tứ phân vị thứ nhất là $Q_{1}$ là $\frac{x_{14} + x_{15}}{2}$ . Do $x_{14}$ , $x_{15}$ đều thuộc nhóm [12,5; 15,5) nên nhóm này chứa $Q_{1}$ . Do đó p = 2; $a_{2} = 12, 5$ ; $m_{2} = 12$ ; $m_{1} = 3$ ; $a_{3} - a_{2} = 3$ và ta có:

$Q_{1} = 12, 5 + \frac{\frac{56}{4} - 3}{12} .3 = 15, 25$ .

Tứ phân vị thứ ba là $Q_{3}$ là $\frac{x_{42} + x_{43}}{2}$ . Do $x_{42}$ , $x_{43}$ đều thuộc nhóm [18,5; 21,5) nên nhóm này chứa $Q_{3}$ . Do đó p = 4; $a_{4} = 18, 5$ ; $m_{4} = 24$ ; $m_{1} + m_{2} + m_{3} = 3 + 12 + 15 = 30$ ; $a_{5} - a_{4} = 3$ và ta có:

$Q_{3} = 18, 5 + \frac{\frac{3.56}{4} - 30}{24} .3 = 20$ .