Lý thuyết Căn bậc hai của một số thực không âm Toán 9 Cùng khám phá

1. Khái niệm về căn bậc hai của số thực không âm

Định nghĩa căn bậc hai

Căn bậc hai của một số thực a không âm là số x sao cho $x^2=a$.

Lưu ý:

- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau, trong đó số dương là $\sqrt{a}$ và số âm là $-\sqrt{a}$.

- Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính nó, ta viết $\sqrt{0}=0$.

- Với hai số a và b không âm, nếu $a<b$ thì $\sqrt{a}<\sqrt{b}$.

Ví dụ:

+) $\sqrt{81}=9$ nên 81 có hai căn bậc hai là 9 và -9.

+) Căn bậc hai số học của 121 là $\sqrt{121}=11$.

2. Tính giá trị (đúng hoặc gần đúng) căn bậc hai của một số hữu tỉ bằng máy tính cầm tay

Để tính các căn bậc hai của một số $a>0$, chỉ cần tính $\sqrt{a}$. Có thể dễ dàng làm điều này bằng cách sử dụng MTCT. Sử dụng nút này để bấm căn bậc hai.

Ví dụ:

3. Căn bậc hai của một bình phương

Với mọi số thực a, ta có: $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$. Như vậy: $\sqrt{a^2}=a$ nếu $a\ge 0$; $\sqrt{a^2}=-a$ nếu $a<0$.

Ví dụ: $\sqrt{{\left(1+\sqrt{2}\right)}^2}=\left|1+\sqrt{2}\right|=1+\sqrt{2}$; $\sqrt{{\left(-3\right)}^2}=\left|-3\right|=3$.

4. Căn bậc hai của một tích

Nếu a và b là hai số không âm thì $\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$.

Ví dụ:

$\sqrt{81.49}=\sqrt{81}.\sqrt{49}=9.7=63$;

$\sqrt{1,3}.\sqrt{10}.\sqrt{13}=\sqrt{1,\mathrm{3.10.13}}=\sqrt{13.13}=\sqrt{{13}^2}=13$.

Lưu ý: Tính chất trên có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm. Chẳng hạn với a, b, c là ba số không âm, ta có $\sqrt{abc}=\sqrt{a}.\sqrt{b}.\sqrt{c}$.

5. Căn bậc hai của một thương

Nếu a là số không âm và b là số dương thì $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Ví dụ:

$\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}=\frac{2}{5}$;

$\frac{\sqrt{216}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{216}{6}}=\sqrt{36}=6$.
6. Đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn bậc hai

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Nếu $a\ge 0$ và $b\ge 0$ thì $\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}$. Nếu $a<0$ và $b\ge 0$ thì $\sqrt{a^{2}b}=-a\sqrt{b}$.

Ví dụ:

$\sqrt{7^2.2}=7\sqrt{2}$;

$\sqrt{{\left(-11\right)}^2.3}=\left|-11\right|.\sqrt{3}=11\sqrt{3}$.

Đưa thừa số vào trong dấu căn

Nếu $a\ge 0$ và $b\ge 0$ thì $a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}b}$. Nếu $a<0$ và $b\ge 0$ thì $a\sqrt{b}=-\sqrt{a^{2}b}$.

Ví dụ:

$2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2^2.\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$;

$4\sqrt{\frac{7}{4}}-\sqrt{28}=\sqrt{4^2.\frac{7}{4}}-\sqrt{28}=\sqrt{4.7}-\sqrt{28}=\sqrt{28}-\sqrt{28}=0$.