Lý thuyết Căn thức bậc hai Toán 9 Cùng khám phá

1. Căn thức bậc hai

Khái niệm căn thức bậc hai

Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt{A}$ là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.

Ví dụ: $\sqrt{2 x - 1}$ , $\sqrt{- \frac{1}{3} x + 2}$ là các căn thức bậc hai.

Lưu ý:

$\sqrt{A}$ xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.

Ví dụ: Căn thức $\sqrt{2 x + 1}$ xác định khi $2 x + 1 \geq 0$ hay $x \geq - \frac{1}{2}$ .

2. Căn thức bậc hai của một bình phương

Với mọi biểu thức đại số, ta có:

$\sqrt{A^{2}} = | A |$ .

Ví dụ: Với $x < 0$ , ta có 1 – x > 0. Do đó ${(\sqrt{1 - x})}^{2} = 1 - x$ .

3. Căn thức bậc hai của một tích

Với hai biểu thức A và B không âm, ta có

$\sqrt{A B} = \sqrt{A} . \sqrt{B}$ .

Lưu ý:

- Tính chất trên có thể mở rộng cho tích của nhiều biểu thức không âm.

Với các biểu thức không âm A, B, C, ta có: $\sqrt{A . B . C} = \sqrt{A} . \sqrt{B} . \sqrt{C}$

- Với biểu thức A không âm, ta có: $\sqrt{A^{2}} = {(\sqrt{A})}^{2} = A$ .

Ví dụ: Với $a \geq 0, b < 0$ thì $\sqrt{25 a^{2} b^{2}} = \sqrt{5^{2} . a^{2} . {(- b)}^{2}} = \sqrt{5^{2}} . \sqrt{a^{2}} . \sqrt{{(- b)}^{2}} = 5. a . (- b) = - 5 a b$ .

4. Căn thức bậc hai của một thương

Với biểu thức A không âm và biểu thức B dương, ta có

$\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ .

Ví dụ: $\sqrt{\frac{49}{64}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}} = \frac{7}{8}$ ;

$\sqrt{\frac{4 a^{2}}{25}} = \frac{\sqrt{4 a^{2}}}{\sqrt{25}} = \frac{\sqrt{4} . \sqrt{a^{2}}}{\sqrt{25}} = \frac{2 | a |}{5}$ ;

$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$ ;

Với $a > 0$ thì $\frac{\sqrt{52 a^{3}}}{\sqrt{13 a}} = \sqrt{\frac{52 a^{3}}{13 a}} = \sqrt{4 a^{2}} = \sqrt{{(2 a)}^{2}} = 2 a$ .

5. Trục căn thức ở mẫu

- Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có:

$\frac{A}{\sqrt{B}} = \frac{A \sqrt{B}}{B}$ .

- Với các biểu thức A, B, C mà $A \geq 0, A \neq B^{2}$ , ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A} + B} = \frac{C (\sqrt{A} - B)}{A - B^{2}}; \frac{C}{\sqrt{A} - B} = \frac{C (\sqrt{A} + B)}{A - B^{2}}$ .

- Với các biểu thức A, B, C mà $A \geq 0, B \geq 0, A \neq B$ , ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A} + \sqrt{B}} = \frac{C (\sqrt{A} - \sqrt{B})}{A - B}; \frac{C}{\sqrt{A} - \sqrt{B}} = \frac{C (\sqrt{A} + \sqrt{B})}{A - B}$ .

Ví dụ:

$\frac{2}{3 \sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{3 {(\sqrt{5})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{5}}{3.5} = \frac{2 \sqrt{5}}{15}$ ;

$\frac{a}{3 - 2 \sqrt{2}} = \frac{a (3 + 2 \sqrt{2})}{(3 - 2 \sqrt{2}) . (3 + 2 \sqrt{2})} = \frac{a (3 + 2 \sqrt{2})}{3^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}} = \frac{a (3 + 2 \sqrt{2})}{9 - 8} = (3 + 2 \sqrt{2}) a$ .