Lý thuyết Cấp số cộng

1. Định nghĩa

Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d. Tức là:

\({u_n} = {u_{n - 1}} + d,n \ge 2\)

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

* Nhận xét: Nếu \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là:

\({u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\left( {k \ge 2} \right)\)

2. Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu là \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\)của nó được xác định theo công thức

\({u_n} = {u_1} + (n - 1)d,n \ge 2\)

3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \(u_1\) và công sai d. Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\). Khi đó

\({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\)