Lý thuyết Cấp số cộng

1. Định nghĩa

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Cấp số cộng $(u_{n})$ với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi:

$u_{n} = u_{n - 1} + d$ , $n \geq 2$ .

* Nhận xét: Nếu $(u_{n})$ là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của 2 sô hạng đứng kề nó trong dãy, tức là:

$u_{k} = \frac{u_{k - 1} + u_{k + 1}}{2}$ $(k \geq 2)$ .

Để chứng minh $(u_{n})$ là một cấp số cộng, hãy chứng minnh hiệu hai số hạng liên tiếp $u_{n} - u_{n - 1}$ không đổi.

2. Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng $(u_{n})$ có số hạng đầu là $u_{1}$ và công sai d thì số hạng tổng quát $u_{n}$ của nó được xác định theo công thức:

$u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ .

3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với công sai d. Đặt $S_{n} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + . . . + u_{n}$ . Khi đó:

$S_{n} = \frac{n (u_{1} + u_{n})}{2} = \frac{n}{2} [2 u_{1} + (n - 1) d]$ .