Lý thuyết Cấp số nhân

1. Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng ngay trước nó với một số không đổi q. Tức là:

$u_{n} = u_{n - 1} . q$ , $n \geq 2$

Số $q$ được gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu $(u_{n})$ là cấp số nhân với công bội $q$ và $u_{n} \neq 0$ với mọi $n \geq 1$ thì với số tự nhiên $n \geq 2$ , ta có:

$\frac{u_{n}}{u_{n - 1}} = q$

* Chú ý: Dãy $(u_{n})$ là cấp số nhân thì ${u_{k}}^{2} = u_{k - 1} . u_{k + 1}$ $(k \geq 2)$ .

2. Số hạng tổng quát

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1}$ và công bội $q$ thì số hạng tổng quát $u_{n}$ của nó được xác định bởi công thức

$u_{n} = u_{1} . q^{n - 1}$ , $n \geq 2$

3. Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với công bội $q \neq 1$ . Đặt $S_{n} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + . . . + u_{n}$ . Khi đó

$S_{n} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}$