Lý thuyết Công thức lượng giác

A. Lý thuyết

1. Công thức cộng

$\begin{array}{l} \sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \\ \sin (a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b \\ \cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \\ \cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b \\ \tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \\ \tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \end{array}$

2. Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l} \sin 2 a = 2 \sin a \cos a \\ \cos 2 a = \cos^{2} a - \sin^{2} a = 2 \cos^{2} a - 1 = 1 - 2 \sin^{2} a \\ \tan 2 a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^{2} a} \end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

$\sin^{2} a = \frac{1 - \cos 2 a}{2}, \cos^{2} a = \frac{1 + \cos 2 a}{2}$

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{array}{l} \cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos (a + b) + \cos (a - b)] \\ \sin a \sin b = \frac{1}{2} [\cos (a - b) - \cos (a + b)] \\ \sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin (a + b) + \sin (a - b)] \end{array}$

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{l} \cos a + \cos b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \cos a - \cos b = - 2 \sin \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \\ \sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \end{array}$

B. Bài tập

1. Không dùng máy tính, hãy tính:

a) $\cos 75^{o}$ ;

b) $\tan \frac{π}{2}$ .

Giải:

a) $\cos 75^{o} = \cos (45^{o} + 30^{o})$

$= \cos 45^{o} \cos 30^{o} - \sin 45^{o} \sin 30^{o}$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} . \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} . \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

b) $\tan \frac{π}{12} = \tan (\frac{π}{3} - \frac{π}{4})$

$= \frac{\tan \frac{π}{3} - \tan \frac{π}{4}}{1 + \tan \frac{π}{3} . \tan \frac{π}{4}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$ .

2. Chứng minh rằng $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4})$ .

Giải:

Ta có $\sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) = \sqrt{2} (\sin x \cos \frac{π}{4} + \cos x \sin \frac{π}{4})$

$= \sqrt{2} (\sin x \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sin x + \cos x$ (đpcm).

3. Cho $\cos a = - \frac{1}{3}$ $(\frac{π}{2} < a < π)$ . Tính sin2a.

Giải:

Vì $\frac{π}{2} < a < π$ nên sina > 0.

Do đó $\sin a = \sqrt{1 - \cos^{2} a}$

$= \sqrt{1 - {(- \frac{1}{3})}^{2}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ .

Vậy $\sin 2 a = 2 \sin a \cos a$

$= 2. \frac{2 \sqrt{2}}{3} . (- \frac{1}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ .

4. Cho $\sin a + \cos a = \frac{1}{2}$ . Tính:

a) sin2a;

b) cos4a.

Giải:

a) $\sin a + \cos a = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow {(\sin a + \cos a)}^{2} = \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow \sin^{2} a + \cos^{2} a + 2 \sin a \cos a = \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow 1 + 2 \sin a \cos a = \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow 2 \sin a \cos a = \frac{1}{4} - 1 = - \frac{3}{4}$ .

b) $\cos 4 a = \cos (2.2 a) = 1 - \sin^{2} 2 a = - \frac{1}{8}$ .

5. Biết $\cos \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Tính $\cos \frac{π}{12}$ .

Giải:

Ta có $\cos^{2} \frac{π}{12} = \frac{1 + \cos \frac{π}{6}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$ .

Mà $\cos \frac{π}{12} > 0$ nên $\cos \frac{π}{12} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

6. Tính giá trị của các biểu thức: $A = \cos \frac{5 π}{12} \cos \frac{7 π}{12}$ ; $B = \cos 75^{o} \sin 15^{o}$ .

Giải:

$A = \cos \frac{5 π}{12} \cos \frac{7 π}{12}$

$= \frac{1}{2} [\cos (\frac{5 π}{12} - \frac{7 π}{12}) + \cos (\frac{5 π}{12} + \frac{7 π}{12})]$

$= \frac{1}{2} [\cos (- \frac{π}{6}) + \cos π]$

$= \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 1) = \frac{\sqrt{3} - 2}{4}$ .

$B = \cos 75^{o} \sin 15^{o}$

$= \frac{1}{2} [\sin (15^{o} - 75^{o}) + \sin (15^{o} + 75^{o})]$

$= \frac{1}{2} [\sin (- 60^{o}) + \sin 90^{o}]$

$= \frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2} + 1) = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$ .

7. Cho $\sin 2 x = - \frac{1}{3}$ . Tính $\sin (x + \frac{π}{4}) \cos (x - \frac{π}{4})$ .

Giải:

$\sin (x + \frac{π}{4}) \cos (x - \frac{π}{4})$

$= \frac{1}{2} [\sin (x + \frac{π}{4} + x - \frac{π}{4}) + \sin (x + \frac{π}{4} - x + \frac{π}{4})]$

$= \frac{1}{2} (\sin 2 x + \sin \frac{π}{2})$

$= \frac{1}{2} (- \frac{1}{3} + 1) = \frac{1}{3}$ .