Lý thuyết Công thức lượng giác

A. Lý thuyết

1. Công thức cộng

$\begin{array}{c}\sin \left(a+b\right)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\\ \sin \left(a-b\right)=\sin a\cos b-\cos a\sin b\\ \cos \left(a+b\right)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\\ \cos \left(a-b\right)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\\ \tan \left(a+b\right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}\\ \tan \left(a-b\right)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}\end{array}$

2. Công thức nhân đôi

$\begin{array}{c}\sin 2a=2\sin a\cos a\\ \cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a\\ \tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}\end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

 ${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2},{\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{array}{c}\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a+b\right)+\cos \left(a-b\right)\right]\\ \sin a\sin b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a-b\right)-\cos \left(a+b\right)\right]\\ \sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin \left(a+b\right)+\sin \left(a-b\right)\right]\end{array}$

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{c}\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\\ \sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\end{array}$

 

B. Bài tập

1. Không dùng máy tính, hãy tính:

a) $\cos {75}^o$;

b) $\tan \frac{\pi }{2}$.

Giải:

a) $\cos {75}^o=\cos ({45}^o+{30}^o)$

$=\cos {45}^o\cos {30}^o-\sin {45}^o\sin {30}^o$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

b) $\tan \frac{\pi }{12}=\tan \left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}\right)$

$=\frac{\tan \frac{\pi }{3}-\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan \frac{\pi }{3}.\tan \frac{\pi }{4}}=\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$.

2. Chứng minh rằng $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.

Giải:

Ta có $\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\sin x\cos \frac{\pi }{4}+\cos x\sin \frac{\pi }{4}\right)$

$=\sqrt{2}\left(\sin x\frac{\sqrt{2}}{2}+\cos x\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sin x+\cos x$ (đpcm).

3. Cho $\cos a=-\frac{1}{3}$ $\left(\frac{\pi }{2}<a<\pi \right)$. Tính sin2a.

Giải:

Vì $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ nên sina > 0.

Do đó $\sin a=\sqrt{1-{\cos }^{2}a}$

$=\sqrt{1-{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Vậy $\sin 2a=2\sin a\cos a$

$=2.\frac{2\sqrt{2}}{3}.\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{4\sqrt{2}}{9}$.

4. Cho $\sin a+\cos a=\frac{1}{2}$. Tính:

a) sin2a;

b) cos4a.

Giải:

a) $\sin a+\cos a=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow {\left(\sin a+\cos a\right)}^2=\frac{1}{4}$

$\iff {\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a+2\sin a\cos a=\frac{1}{4}$

$\iff 1+2\sin a\cos a=\frac{1}{4}$

$\iff 2\sin a\cos a=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}$.

b) $\cos 4a=\cos \left(2.2a\right)=1-{\sin }^{2}2a=-\frac{1}{8}$.

5. Biết $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Tính $\cos \frac{\pi }{12}$.

Giải:

Ta có ${\cos }^2\frac{\pi }{12}=\frac{1+\cos \frac{\pi }{6}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$.

Mà $\cos \frac{\pi }{12}>0$ nên $\cos \frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$.

6. Tính giá trị của các biểu thức: $A=\cos \frac{5\pi }{12}\cos \frac{7\pi }{12}$; $B=\cos {75}^o\sin {15}^o$.

Giải:

$A=\cos \frac{5\pi }{12}\cos \frac{7\pi }{12}$

$=\frac{1}{2}\left[\cos \left(\frac{5\pi }{12}-\frac{7\pi }{12}\right)+\cos \left(\frac{5\pi }{12}+\frac{7\pi }{12}\right)\right]$

$=\frac{1}{2}\left[\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)+\cos \pi \right]$

$=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-1\right)=\frac{\sqrt{3}-2}{4}$.

$B=\cos {75}^o\sin {15}^o$

$=\frac{1}{2}\left[\sin ({15}^o-{75}^o)+\sin ({15}^o+{75}^o)\right]$

$=\frac{1}{2}\left[\sin (-{60}^o)+\sin {90}^o\right]$

$=\frac{1}{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)=\frac{2-\sqrt{3}}{4}$.

7. Cho $\sin 2x=-\frac{1}{3}$. Tính $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$.

Giải:

$\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$

$=\frac{1}{2}\left[\sin \left(x+\frac{\pi }{4}+x-\frac{\pi }{4}\right)+\sin \left(x+\frac{\pi }{4}-x+\frac{\pi }{4}\right)\right]$

$=\frac{1}{2}\left(\sin 2x+\sin \frac{\pi }{2}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}+1\right)=\frac{1}{3}$.