Lý thuyết Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes Toán 12 Chân trời sáng tạo

1. Công thức xác suất toàn phần

Cho hai biến cố A và B với 0 < P(B) < 1. Khi đó $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)$ gọi là công thức xác suất toàn phần.

Ví dụ: Một loại xét nghiệm nhanh SARS-CoV-2 cho kết quả dương tính với 76,2% các ca thực sự nhiễm virus và kết quả âm tính với 99,1% các ca thực sự không nhiễm virus. Giả sử tỉ lệ người nhiễm virus SARS-CoV-2 trong một cộng đồng là 1%. Một người trong cộng đồng đó làm xét nghiệm và nhận được kết quả dương tính. Hỏi khả năng người đó thực sự nhiễm virus là cao hay thấp?

Giải:

Gọi A là biến cố "Người làm xét nghiệm có kết quả dương tính" và B là biến cố "Người làm xét nghiệm thực sự nhiễm virus".

Đối với xét nghiệm cho kết quả dương tính, có 76,2% các ca thực sự nhiễm virus nên P(A∣B) = 0,762.P(A∣B) = 0,762.

Đối với xét nghiệm cho kết quả âm tính, có 99,1% các ca thực sự không nhiễm virus nên P(A̅|B̅) = 0,991. Suy ra P(A̅|B) = 1 - 0,991 = 0,009.

Do tỉ lệ người nhiễm virus trong cộng đồng là 1%, nên P(B) = 0,01.P(B) = 0,01 và P(B̅) = 0,99.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất người làm xét nghiệm có kết quả dương tính là:

P(A) = P(B).P(A∣B) + P(B) P(A∣B) = 0,01.0,762 + 0,99.0,009 = 0,01653.

2.Công thức Bayes

Giả sử A và B là hai biến cố ngẫu nhiên thỏa mãn P(A) > 0 và 0 < P(B) < 1. Khi đó $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)}$ gọi là công thức Bayes.

Chú ý:

- Công thức Bayes vẫn đúng với biến cố B bất kì.

- Với P(A) > 0, công thức $P(B\mid A)=\frac{P\left(B\right)P(A\mid B)}{P\left(A\right)}$ cũng được gọi là công thức Bayes.

Ví dụ: Một nhà máy có hai phân xưởng I và II. Phân xưởng I sản xuất 40% số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất 60% số sản phẩm. Tỷ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là 2% và của phân xưởng II là 1%. Kiểm tra ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy.

a) Tính xác suất để sản phẩm đó bị lỗi.

b) Biết rằng sản phẩm được kiểm tra bị lỗi. Hỏi xác suất sản phẩm đó do phân xưởng nào sản xuất cao hơn?

Giải:

a) Gọi A là biến cố “Sản phẩm được kiểm tra bị lỗi” và B là biến cố “Sản phẩm được kiểm tra do phân xưởng I sản xuất”.

Do phân xưởng I sản xuất 40% số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất 60% số sản phẩm nên

$P\left(B\right)=0,4$ và $P\left(\overline{B}\right)=1-0,4=0,6$.

Do tỷ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là 2% và của phân xưởng II là 1% nên:

$P\left(A|B\right)=0,02$ và $P\left(A|\overline{B}\right)=0,01$.

Xác suất để sản phẩm được kiểm tra bị lỗi là:

$P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)=0,4.0,02+0,6.0,01=0,014$.

b) Nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất là:

$P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}$

$=\frac{0,4.0,02}{0,014}=\frac{4}{7}$.

Nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất là:

$P\left(\overline{B}|A\right)=1-P\left(B|A\right)=\frac{3}{7}$.

Vậy nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất cao hơn xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất.