Lý thuyết Đạo hàm cấp hai

A. Lý thuyết

1. Đạo hàm cấp hai

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm với mọi $x\in (a;b)$. Nếu hàm số y’ = f’(x) có đạo hàm tại x thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu là y’’ hoặc f’’(x).

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai s’’(t) là gia tốc tức thời tại thời điểm t của chất điểm chuyển động với phương trình s = s(t), tức là a(t) = s’’(t).

B. Bài tập

Bài 1: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y=x^4+\ln x$.

b) $y={\sin }^{2}x$.

Giải:

a) Với x = 0, ta có $y^{\prime }=4x^3+\frac{1}{x}$; $y^{\prime \prime }={\left(4x^3+\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=12x^2-\frac{1}{x^2}$.

b) $y^{\prime }=2\sin x\cos x=\sin 2x$; $y^{\prime \prime }=(\sin 2x{)}^{\prime }=2\cos 2x$.

Bài 2: Một vật chuyển động thẳng với phương trình $s\left(t\right)=t^3+t$. Tính gia tốc của vật chuyển động thẳng tại các thời điểm $t_1=2$ và $t_2=3$. Ở thời điểm nào trong hai thời điểm trên, vật tăng tốc nhanh hơn?

Giải:

Ta có $s^{\prime }\left(t\right)=3t^2+1$, $a\left(t\right)=s^{\prime \prime }\left(t\right)=6t$.

$a\left(t_1\right)=a\left(2\right)=12$ (m/s); $a\left(t_2\right)=a\left(3\right)=18$ (m/s).

Vì $a\left(t_2\right)>a\left(t_1\right)$ nên tại thời điểm $t_2=3$ vật tăng tốc nhanh hơn.