Lý thuyết Dãy số

1. Dãy số

• Dãy số vô hạn

- Một hàm số$u=u\left(n\right)$ xác định trên tập các số nguyên dương $N^{\ast }$ được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).

  Kí hiệu là $u\left(n\right)=u_n$ hay dãy số $\left(u_n\right)$.

- Một hàm số $u=u\left(n\right)$ xác định trên tập $M=\left\{1;2;3;...;m\right\},m\in N^{\ast }$ được gọi là một dãy số hữu hạn.

*Nhận xét:

- Dãy số $\left(u_n\right)$ được viết dưới dạng khai triển $u_1,u_2,u_3,...,u_n,...$ Số $u_1$ là số hạng đầu; $u_n$ là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số; n được gọi là chỉ số.

- Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là $u_1,u_2,u_3,...,u_m$. Trong đó, số $u_1$ gọi là số hạng đầu, $u_m$ là số hạng cuối.

II. Cách cho một dãy số

Một dãy số có thể cho bằng:

• Liệt kê các số hạng (với các dãy hữu hạn).
• Công thức của số hạng tổng quát $u_n$.
• Phương pháp truy hồi:

- Cho số hạng thứ nhất $u_1$ (hoặc một vài số hạng đầu tiên)

- Cho một công thức tính $u_n$ theo$u_{n-1}$ (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).

• Phương pháp mô tả.

III. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

1. Dãy số tăng, dãy số giảm

• Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có $u_{n+1}>u_n$$,\forall n\in N^{\ast }$.
• Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có $u_{n+1}<u_n$$,\forall n\in N^{\ast }$.

2. Dãy số bị chặn

• Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn trên nếu $\exists$ số M sao cho $u_n\le M,$ $\forall n\in N^{\ast }$.
• Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn dưới nếu $\exists$ số m sao cho $u_n\ge m,$ $\forall n\in N^{\ast }$.
• Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho $m\le u_n\le M,$$\forall n\in N^{\ast }$.