Lý thuyết Dãy số

1. Dãy số

Dãy số vô hạn

- Một hàm số $u = u (n)$ xác định trên tập các số nguyên dương $N^{*}$ được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).

Kí hiệu là $u (n) = u_{n}$ hay dãy số $(u_{n})$ .

- Một hàm số $u = u (n)$ xác định trên tập $M = {1; 2; 3; . . .; m}, m \in N^{*}$ được gọi là một dãy số hữu hạn.

*Nhận xét:

- Dãy số $(u_{n})$ được viết dưới dạng khai triển $u_{1}, u_{2}, u_{3}, . . ., u_{n}, . . .$ Số $u_{1}$ là số hạng đầu; $u_{n}$ là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số; n được gọi là chỉ số.

- Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là $u_{1}, u_{2}, u_{3}, . . ., u_{m}$ . Trong đó, số $u_{1}$ gọi là số hạng đầu, $u_{m}$ là số hạng cuối.

II. Cách cho một dãy số

Một dãy số có thể cho bằng:

Liệt kê các số hạng (với các dãy hữu hạn).
Công thức của số hạng tổng quát $u_{n}$ .
Phương pháp truy hồi:

- Cho số hạng thứ nhất $u_{1}$ (hoặc một vài số hạng đầu tiên)

- Cho một công thức tính $u_{n}$ theo $u_{n - 1}$ (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).

Phương pháp mô tả.

III. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

1. Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có $u_{n + 1} > u_{n}$ $, \forall n \in N^{*}$ .
Dãy số $(u_{n})$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có $u_{n + 1} < u_{n}$ $, \forall n \in N^{*}$ .

2. Dãy số bị chặn

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là bị chặn trên nếu $\exists$ số M sao cho $u_{n} \leq M,$ $\forall n \in N^{*}$ .
Dãy số $(u_{n})$ được gọi là bị chặn dưới nếu $\exists$ số m sao cho $u_{n} \geq m,$ $\forall n \in N^{*}$ .
Dãy số $(u_{n})$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho $m \leq u_{n} \leq M,$ $\forall n \in N^{*}$ .