Lý thuyết Dãy số

1. Định nghĩa dãy số

1. Định nghĩa dãy số

Dãy số vô hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương $N^{*}$ được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu là $u = u (n)$ .

Ta thường viết $u_{n}$ thay cho $u (n)$ và kí hiệu dãy số $u = u (n)$ bởi $(u_{n})$ , do đó dãy số $(u_{n})$ được viết dưới dạng khai triển $u_{1}, u_{2}, u_{3}, . . ., u_{n}, . . .$

Số $u_{1}$ là số hạng đầu; $u_{n}$ là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

* Chú ý: Nếu $\forall n \in N^{*}, u_{n} = c$ thì $(u_{n})$ được gọi là dãy số không đổi.

Dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập $M = {1; 2; 3; . . .; m}, m \in N^{*}$ được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là $u_{1}, u_{2}, u_{3}, . . ., u_{m}$ .

Số $u_{1}$ gọi là số hạng đầu, $u_{m}$ là số hạng cuối.

2. Cách cho một dãy số

Một dãy số có thể cho bằng:

Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng).
Công thức của số hạng tổng quát.
Phương pháp mô tả.
Phương pháp truy hồi.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có $u_{n + 1} > u_{n}$ $, \forall n \in N^{*}$ .

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có $u_{n + 1} < u_{n}$ $, \forall n \in N^{*}$ .

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là bị chặn trên nếu $\exists$ số M sao cho $u_{n} \leq M,$ $\forall n \in N^{*}$ .

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là bị chặn dưới nếu $\exists$ số m sao cho $u_{n} \geq m,$ $\forall n \in N^{*}$ .

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho $m \leq u_{n} \leq M,$ $\forall n \in N^{*}$ .