Lý thuyết Định lí Viète và ứng dụng Toán 9 Cánh diều

1. Định lí Viète

Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$ thì $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$; $x_1{x}_2=\frac{c}{a}.$

Ví dụ: Phương trình $2x^2+11x+7=0$ có: $\Delta ={11}^2-\mathrm{4.2.7}=65>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$.

Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=-\frac{11}{2};x_1{x}_2=\frac{7}{2}$.

Nhận xét:

Xét phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ $\left(a\ne 0\right)$: - Nếu $ac<0$ thì $\Delta =b^2-4ac>0$, do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. - Nếu $a+b+c=0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_1=1$, còn nghiệm kia là $x_2=\frac{c}{a}$. - Nếu $a-b+c=0$ thì phương trình có nghiệm là $x_1=-1$, còn nghiệm kia là $x_2=-\frac{c}{a}$.

Ví dụ: Phương trình $x^2+3572x-3573=0$ có $a=1>0,c=-3573<0$, suy ra a và c trái dấu. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình $x^2-6x+5=0$ có $a+b+c=1+\left(-6\right)+5=0$ nên phương trình có hai nghiệm: $x_1=1,x_2=5$.

Phương trình $5x^2+14x+9=0$ có $a-b+c=5-14+9=0$ nên phương trình có hai nghiệm: $x_1=-1,x_2=-\frac{9}{5}$.

2. Tìm hai số khi biết tổng và tích

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai: $x^2-Sx+P=0$. Điều kiện để có hai số đó là $S^2-4P\ge 0$.

Ví dụ: Hai số có tổng bằng 9, tích bằng 20 là nghiệm của phương trình $x^2+9x+20=0$.

Ta có: $\Delta ={\left(-9\right)}^2-\mathrm{4.1.20}=1,\sqrt{\Delta }=1$.

Suy ra phương trình có hai nghiệm $x_1=\frac{9-1}{2}=4;x_2=\frac{9+1}{2}=5$.

Vậy hai số cần tìm là 4 và 5.