Lý thuyết Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm - Toán 11 Cánh diều

1. Định nghĩa

- Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng (a; b) và điểm $x_0\in \left(a;b\right)$.

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ tại $x_0$ và được kí hiệu là $f^{\prime }\left(x_0\right)$ hoặc $y{}_{x_o}^{\prime }$.

- Hàm số $y=f\left(x\right)$ được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Để tính đạo hàm $f^{\prime }\left(x_0\right)$ của hàm số $y=f\left(x\right)$ tại $x_0$, ta lần lượt thực hiện ba bước sau:

Bước 1. Xét $\Delta x=x-x_0$ là số gia của biến số tại điểm $x_0$.

Tính $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$.

Bước 2.  Rút gọn tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$.

Bước 3. Tính $\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}$.

Kết luận: Nếu $\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=a$ thì $f^{\prime }\left(x_0\right)=a$.

3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

- Đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm $x_0$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm $M_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$.

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm $M_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$ là $y=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$.