Lý thuyết Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên Toán 9 Cánh diều

1. Độ dài cung tròn

Tỉ số giữa chi vi C của mỗi đường tròn với đường kính d của đường tròn đó là một hằng số, kí hiệu là $\pi$. Số $\pi$ là số vô tỉ, cụ thể: $\pi =3,\mathrm{1415...}$

- Chu vi đường tròn đường kính d là $C=\pi d$.

- Chu vi đường tròn bán kính R là $C=2\pi R$.

Công thức tính độ dài cung tròn

Trong một đường tròn bán kính R, độ dài của cung tròn có số đo $n^{\circ }$ là $l=\frac{\pi Rn}{180}$.

Ví dụ:

Đường tròn (O; 2cm), $\widehat{AOB}={60}^{\circ }$.

- Cung nhỏ AB bị chắn bởi góc ở tâm AOB.

Do đó sđ$\stackrel{⌢}{AB}=\widehat{AOB}=60{}^{\circ }$

Độ dài $l_1$ của cung AB là:

$l_1=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi .2.60}{180}=\frac{2\pi }{3}\approx 2,1\left(cm\right)$

Cung lớn AnB có số đo là:

sđ$\stackrel{⌢}{AmN}=360{}^{\circ }-60{}^{\circ }=300{}^{\circ }$.

Độ dài $l_2$ của cung AnB là:

$l_2=\frac{\pi .2.300}{180}=\frac{10\pi }{3}\approx 10,5\left(cm\right)$

2. Diện tích hình quạt tròn

Chú ý:

- Hình tròn tâm O bán kính R bao gồm đường tròn (O;R) và tất cả các điểm nằm trong đường tròn đó.

- Diện tích của hình tròn bán kính R là $S=\pi R^2$.

Khái niệm hình quạt tròn

Hình quạt tròn (hay còn gọi tắt là hình quạt) là một phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai mút của cung đó.

Diện tích hình quạt tròn

Diện tích hình quạt tròn bán kính R ứng với cung $n^{\circ }$: $S=\frac{\pi R^{2}n}{360}$

Nhận xét: Gọi $l$ là độ dài của cung tròn có số đo $n^{\circ }$ thì diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung tròn có số đo $n^{\circ }$ là:

$S=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi Rn}{180}.\frac{R}{2}=\frac{lR}{2}$.

Ví dụ: Diện tích hình quạt tròn có độ dài tương ứng với nó là $l=4\pi$cm, bán kính là R = 5cm là:

$S_q=\frac{l.R}{2}=\frac{4\pi .5}{2}=10\pi \left(c{m}^2\right)$

3. Diện tích hình vành khuyên

Khái niệm hình vành khuyên

Hình giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm được gọi là hình vành khuyên.

Diện tích hình vành khuyên

Hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O;R) và (O;r) (với R > r) có diện tích là:

$S=\pi \left(R^2-r^2\right)$.

Ví dụ:  Diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 3m và 5m là:

$S_v=\pi \left(5^2-3^2\right)=16\pi \left(m^2\right)$