Lý thuyết Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

A. Lý thuyết

1. Phương trình đường thẳng

a) Vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến của đường thẳng

Vecto $\vec{u}$ được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng $Δ$ nếu $\vec{u} \neq \vec{0}$ và giá của vecto $\vec{u}$ song song hoặc trùng với $Δ$ .

Vecto

\vec{n}

được gọi là vecto pháp tuyến của đường thẳng

Δ

nếu

\vec{n} \neq \vec{0}

và giá của vecto

\vec{n}

vuông góc với

Δ

Chú ý:

- Nếu đường thẳng $Δ$ có vecto pháp tuyến $\vec{n} = (a; b)$ thì $Δ$ sẽ nhận $\vec{u} = (b; - a)$ hoặc $\vec{u} = (- b; a)$ là một vecto chỉ phương.

- Nếu $\vec{u}$ là một vecto chỉ phương của $Δ$ thì $k \vec{u}$ $(k \neq 0)$ cũng là một vecto chỉ phương của $Δ$ .

- Nếu $\vec{n}$ là một vecto pháp tuyến của $Δ$ thì $k \vec{n}$ $(k \neq 0)$ cũng là một vecto pháp tuyến của $Δ$ .

b) Phương trình tham số của đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, ta gọi

${\begin{cases} x = x_{0} + t u_{1} \\ y = y_{0} + t u_{2} \end{cases}$ (với ${u_{1}}^{2} + {u_{2}}^{2} > 0, t \in R$ )

là phương trình tham số của đường thẳng

Δ

đi qua

M_{0} (x_{0}; y_{0})

và nhận

\vec{u} = (u_{1}; u_{2})

làm vecto chỉ phương.

Chú ý: Với mỗi giá trị cụ thể của t, ta xác định được một điểm trên đường thẳng $Δ$ và ngược lại.

c) Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, mỗi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng

a x + b y + c = 0

(a và b không đồng thời bằng 0).

Nhận xét:

- Đường thẳng $Δ$ đi qua $M_{0} (x_{0}; y_{0})$ và nhận $\vec{n} = (a; b)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0 \Leftrightarrow a x + b y + (- a x_{0} - b y_{0}) = 0$ .

- Mỗi phương trình $a x + b y + c = 0$ (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng $Δ$ trong mặt phẳng tọa độ nhận một vecto pháp tuyến là $\vec{n} = (a; b)$ .

Phương trình đường thẳng $Δ$ đi qua hai điểm $A (x_{A}; y_{A})$ , $B (x_{B}; y_{B})$ có dạng

$\frac{x - x_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \frac{y - y_{A}}{y_{B} - y_{A}}$ (với $x_{B} - x_{A} \neq 0$ và $y_{B} - y_{A} \neq 0$ ).

Đường thẳng $Δ$ cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A(a;0) và B(0;b) có phương trình đoạn chắn là

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

(a b \neq 0)

d) Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng

- Đường thẳng $Δ$ có phương trình tổng quát $a x + b y + c = 0$ (a hoặc b khác 0) là đồ thị hàm số bậc nhất khi và chỉ khi $a \neq 0$ và $b \neq 0$ . Khi đó, ta có thể viết

$a x + b y + c = 0 \Leftrightarrow y = - \frac{a}{b} x - \frac{c}{b} \Leftrightarrow y = k x + y_{0}$ .

- Phương trình trục hoành là y = 0, phương trình trục tung là x = 0.

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng $Δ_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ $({a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2} > 0)$ có vecto pháp tuyến $\vec{n_{1}}$ và đường thẳng $Δ_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ $({a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2} > 0)$ có vecto pháp tuyến $\vec{n_{2}}$ .

Nếu $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{2}}$ cùng phương thì $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ song song hoặc trùng nhau. Lấy một điểm P tùy ý trên $Δ_{1}$ .

+ Nếu $P \in Δ_{2}$ thì $Δ_{1} \equiv Δ_{2}$ .

+ Nếu $P \notin Δ_{2}$ thì $Δ_{1} / / Δ_{2}$ .

Nếu $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{2}}$ không cùng phương thì $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau tại một điểm $M (x_{0}; y_{0})$ là nghiệm của hệ phương trình

{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0 \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0 \end{cases}

Chú ý:

a) Nếu $\vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} = 0$ thì $\vec{n_{1}} ⊥ \vec{n_{2}}$ , suy ra $Δ_{1} ⊥ Δ_{2}$ .

b) Để xét hai vecto $\vec{n_{1}} = (a_{1}; b_{1})$ và $\vec{n_{2}} = (a_{2}; b_{2})$ cùng phương hay không, ta xét biểu thức $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ :

+ Nếu $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ thì hai vecto cùng phương.

+ Nếu $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq 0$ thì hai vecto không cùng phương.

Trong trường hợp tất cả các hệ số $a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}$ đều khác 0, ta có thể xét hai trường hợp:

+ Nếu $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}$ thì hai vecto cùng phương.

+ Nếu $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ thì hai vecto không cùng phương.

3. Góc giữa hai đường thẳng

a) Khái niệm góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau tạo thành bốn góc:

- Nếu hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ không vuông góc với nhau thì góc nhọn trong bốn góc tạo thành được gọi là góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ .

- Nếu hai đường thẳng

Δ_{1}

và

Δ_{2}

vuông góc với nhau thì ta nói góc giữa hai đường thẳng

Δ_{1}

và

Δ_{2}

bằng

90^{o}

Quy ước:

+ Khi $Δ_{1}$ song song hoặc trùng với $Δ_{2}$ , ta nói góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ bằng $0^{o}$ .

+ Góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng $90^{o}$ , tức là $(Δ_{1}, Δ_{2}) \leq 90^{o}$ .

+ Góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ được kí hiệu là $(\hat{Δ_{1}, Δ_{2}})$ hoặc $(Δ_{1}, Δ_{2})$ .

b) Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có vecto pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (a_{1}; b_{1})$ , $\vec{n_{2}} = (a_{2}; b_{2})$ . Ta có:

\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = | \cos (\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}) | = \frac{| \vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} |}{| \vec{n_{1}} | . | \vec{n_{2}} |} \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} |}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}} . \sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}

Nhận xét: Nếu $Δ_{1}$ , $Δ_{2}$ có vecto chỉ phương $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ thì $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = | \cos (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}) |$ .

Chú ý:

+ Nếu $Δ_{1}$ , $Δ_{2}$ lần lượt có phương trình $a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ và $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ thì $(Δ_{1}, Δ_{2}) = 90^{o} \Leftrightarrow a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ .

+ Nếu $Δ_{1}$ , $Δ_{2}$ lần lượt có phương trình $y = k_{1} x + m_{1}$ và $y = k_{2} x + m_{2}$ thì ta có $(Δ_{1}, Δ_{2}) = 90^{o} \Leftrightarrow k_{1} k_{2} = - 1$ .

Nói cách khác, hai đường thẳng có tích các hệ số góc bằng -1 thì vuông góc với nhau.

4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $Δ$ có phương trình $a x + b y + c = 0$ $(a^{2} + b^{2} > 0)$ và điểm $M_{0} (x_{0}; y_{0})$ . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $Δ$ , kí hiệu là $d (M, Δ)$ , được tính bởi công thức sau:

d (M, Δ) = \frac{| a x_{0} + b y_{0} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

B. Bài tập

Bài 1:

a) Cho đường thẳng $Δ$ có vecto pháp tuyến $\vec{n} = (\frac{1}{2}; - \frac{5}{2})$ . Tìm vecto chỉ phương của $Δ$ .

b) Cho đường thẳng d có vecto chỉ phương $\vec{u} = (1; 3)$ . Tìm hai vecto pháp tuyến của d.

Giải:

a) $Δ$ có vecto pháp tuyến $\vec{n} = (\frac{1}{2}; - \frac{5}{2})$ , suy ra $Δ$ cũng có vecto pháp tuyến $2 \vec{n} = (1; - 5)$ và có vecto chỉ phương $\vec{u} = (5; 1)$ .

b) Hai vecto pháp tuyến của d là $\vec{n} = (3; - 1)$ , $- \vec{n} = (- 3; 1)$ .

Bài 2: Lập phương trình đường thẳng $Δ$ thỏa mãn:

a) Đi qua M(-2;-3) và có $\vec{n} = (2; 5)$ là vecto pháp tuyến.

b) Đi qua M(3;-5) và có $\vec{u} = (2; - 4)$ là vecto chỉ phương.

c) Đi qua A(-3;4) và B(1;-1).

Giải:

a) Phương trình $Δ$ là $2 (x + 2) + 5 (y + 3) = 0 \Leftrightarrow 2 x + 5 y + 19 = 0$ .

b) Phương trình $Δ$ là $\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 5}{- 4} \Leftrightarrow 4 x + 2 y - 2 = 0 \Leftrightarrow 2 x + y - 1 = 0$ .

c) Phương trình $Δ$ là $\frac{x + 3}{1 - (- 3)} = \frac{y - 4}{- 1 - 4} \Leftrightarrow \frac{x + 3}{4} = \frac{y - 4}{- 5} \Leftrightarrow 5 x + 4 y - 1 = 0$ .

Bài 3: Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng là đồ thị hàm số bậc nhất sau:

a) $d_{1} : y = 2 x + 3$

b) $d_{2} : y = - \frac{1}{2} x + 5$

c) $d_{3} : y = x$

Giải:

a) Ta có $y = 2 x + 3 \Leftrightarrow 2 x - y + 3 = 0$ .

Vậy phương trình tổng quát của $d_{1}$ là $2 x - y + 3 = 0$ .

b) Ta có $y = - \frac{1}{2} x + 5 \Leftrightarrow x + 2 y - 10 = 0$ .

Vậy phương trình tổng quát của $d_{2}$ là $x + 2 y - 10 = 0$ .

c) Ta có $y = x \Leftrightarrow x - y = 0$ .

Vậy phương trình tổng quát của $d_{3}$ là $x - y = 0$ .

Bài 4: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) $Δ_{1} : 2 x - y + 1 = 0$ và $Δ_{2} : - x + 2 y + 2 = 0$ .

b) $Δ_{3} : x - y - 1 = 0$ và $Δ_{4} : {\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 3 + 2 t \end{cases}$ .

Giải:

a) Đường thẳng $Δ_{1}$ có vecto chỉ phương $\vec{u_{1}} = (1; 2)$ , đường thẳng $Δ_{2}$ có vecto chỉ phương $\vec{u_{2}} = (- 2; - 1)$ .

Do $\frac{1}{- 2} \neq \frac{2}{- 1}$ nên $\vec{u_{1}}$ và $\vec{u_{2}}$ không cùng phương, suy ra $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ .

b) Đường thẳng $Δ_{3}$ , $Δ_{4}$ lần lượt có vecto chỉ phương là $\vec{u_{3}} = (1; 1)$ và $\vec{u_{4}} = (2; 2)$ . Suy ra $\vec{u_{4}} = 2 \vec{u_{3}}$ . Chọn t = 0, ta có điểm $M (1; 3) \in Δ_{4}$ . Do $1 - 3 - 1 \neq 0$ nên $M (1; 3) \notin Δ_{3}$ .

Vậy $Δ_{3}$ // $Δ_{4}$ .

Bài 5: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

$Δ_{1} : x - 2 y + 1 = 0$ và $Δ_{2} : 2 x - 4 y + 2 = 0$ .

Giải:

Tọa độ giao điểm của đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ là nghiệm của hệ phương trình:

${\begin{cases} x - 2 y + 1 = 0 \\ 2 x - 4 y + 2 = 0 \end{cases}$ .

Hệ trên có vô số nghiệm. Như vậy, $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có vô số điểm chung, tức hai đường thẳng trên trùng nhau.

Bài 6: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $Δ_{1} : {\begin{cases} x = - 1 + \sqrt{3} t_{1} \\ y = 1 + t_{1} \end{cases}$ và $Δ_{2} : {\begin{cases} x = - 1 + \sqrt{3} t_{2} \\ y = 4 - t_{2} \end{cases}$ .

b) $Δ_{1} : 3 x + y - 10 = 0$ và $Δ_{2} : - 2 x + y - 7 = 0$ .

Giải:

a) $Δ_{1}$ có vecto chỉ phương $\vec{u_{1}} = (\sqrt{3}; 1)$ . $Δ_{2}$ có vecto chỉ phương $\vec{u_{2}} = (\sqrt{3}; - 1)$ .

Do đó, ta có: $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| \sqrt{3} . \sqrt{3} + 1. (- 1) |}{\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 1^{2}} . \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{1}{2}$ .

Vậy $(Δ_{1}, Δ_{2}) = 60^{o}$ .

b) $Δ_{1}$ có vecto pháp tuyến $\vec{n_{1}} = (3; 1)$ . $Δ_{2}$ có vecto pháp tuyến $\vec{n_{2}} = (- 2; 1)$ .

Do đó, ta có: $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = | \cos (\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}) | = \frac{| \vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} |}{| \vec{n_{1}} | . | \vec{n_{2}} |} = \frac{| 3. (- 2) + 1.1 |}{\sqrt{3^{2} + 1^{2}} . \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Vậy $(Δ_{1}, Δ_{2}) = 45^{o}$ .

Bài 7: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $Δ$ trong mỗi trường hợp sau:

a) M(-2;1) và $Δ : 2 x - 3 y + 5 = 0$ .

b) M(1;-3) và $Δ : {\begin{cases} x = - 2 + 3 t \\ y = 2 - 4 t \end{cases}$ .

Giải:

a) Ta có: $d (M, Δ) = \frac{| 2. (- 2) - 3.1 + 5 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 3)}^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$ .

b) Đường thẳng $Δ$ đi qua điểm N(-2;2) và có vecto pháp tuyến $\vec{n} = (4; 3)$ .

Phương trình đường thẳng $Δ$ là $4 (x + 2) + 3 (y - 2) = 0$ . Từ đó, ta nhận được phương trình tổng quát của đường thẳng $Δ$ là $4 x + 3 y + 2 = 0$ .

Vậy $d (M, Δ) = \frac{| 4.1 + 3. (- 3) + 2 |}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = \frac{3}{5}$ .