Lý thuyết Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

A. Lý thuyết 1. Phương trình đường thẳng a) Vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến của đường thẳng

A. Lý thuyết

1. Phương trình đường thẳng

a) Vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến của đường thẳng

Vecto $\vec{u}$ được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng $Δ$ nếu $\vec{u} \neq \vec{0}$ và giá của vecto $\vec{u}$ song song hoặc trùng với $Δ$ .

Vecto

\vec{n}

được gọi là vecto pháp tuyến của đường thẳng

Δ

nếu

\vec{n} \neq \vec{0}

và giá của vecto

\vec{n}

vuông góc với

Δ

Chú ý:

- Nếu đường thẳng $Δ$ có vecto pháp tuyến $\vec{n} = (a; b)$ thì $Δ$ sẽ nhận $\vec{u} = (b; - a)$ hoặc $\vec{u} = (- b; a)$ là một vecto chỉ phương.

- Nếu $\vec{u}$ là một vecto chỉ phương của $Δ$ thì $k \vec{u}$ $(k \neq 0)$ cũng là một vecto chỉ phương của $Δ$ .

- Nếu $\vec{n}$ là một vecto pháp tuyến của $Δ$ thì $k \vec{n}$ $(k \neq 0)$ cũng là một vecto pháp tuyến của $Δ$ .

b) Phương trình tham số của đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, ta gọi

${\begin{cases} x = x_{0} + t u_{1} \\ y = y_{0} + t u_{2} \end{cases}$ (với ${u_{1}}^{2} + {u_{2}}^{2} > 0, t \in R$ )

là phương trình tham số của đường thẳng

Δ

đi qua

M_{0} (x_{0}; y_{0})

và nhận

\vec{u} = (u_{1}; u_{2})

làm vecto chỉ phương.

Chú ý: Với mỗi giá trị cụ thể của t, ta xác định được một điểm trên đường thẳng $Δ$ và ngược lại.

c) Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, mỗi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng

a x + b y + c = 0

(a và b không đồng thời bằng 0).

Nhận xét:

- Đường thẳng $Δ$ đi qua $M_{0} (x_{0}; y_{0})$ và nhận $\vec{n} = (a; b)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0 \Leftrightarrow a x + b y + (- a x_{0} - b y_{0}) = 0$ .

- Mỗi phương trình $a x + b y + c = 0$ (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng $Δ$ trong mặt phẳng tọa độ nhận một vecto pháp tuyến là $\vec{n} = (a; b)$ .

Phương trình đường thẳng $Δ$ đi qua hai điểm $A (x_{A}; y_{A})$ , $B (x_{B}; y_{B})$ có dạng

$\frac{x - x_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \frac{y - y_{A}}{y_{B} - y_{A}}$ (với $x_{B} - x_{A} \neq 0$ và $y_{B} - y_{A} \neq 0$ ).

Đường thẳng $Δ$ cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A(a;0) và B(0;b) có phương trình đoạn chắn là

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

(a b \neq 0)

d) Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng

- Đường thẳng $Δ$ có phương trình tổng quát $a x + b y + c = 0$ (a hoặc b khác 0) là đồ thị hàm số bậc nhất khi và chỉ khi $a \neq 0$ và $b \neq 0$ . Khi đó, ta có thể viết

$a x + b y + c = 0 \Leftrightarrow y = - \frac{a}{b} x - \frac{c}{b} \Leftrightarrow y = k x + y_{0}$ .

- Phương trình trục hoành là y = 0, phương trình trục tung là x = 0.

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng $Δ_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ $({a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2} > 0)$ có vecto pháp tuyến $\vec{n_{1}}$ và đường thẳng $Δ_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ $({a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2} > 0)$ có vecto pháp tuyến $\vec{n_{2}}$ .

Nếu $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{2}}$ cùng phương thì $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ song song hoặc trùng nhau. Lấy một điểm P tùy ý trên $Δ_{1}$ .

+ Nếu $P \in Δ_{2}$ thì $Δ_{1} \equiv Δ_{2}$ .

+ Nếu $P \notin Δ_{2}$ thì $Δ_{1} / / Δ_{2}$ .

Nếu $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{2}}$ không cùng phương thì $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau tại một điểm $M (x_{0}; y_{0})$ là nghiệm của hệ phương trình

{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0 \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0 \end{cases}

Chú ý:

a) Nếu $\vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} = 0$ thì $\vec{n_{1}} ⊥ \vec{n_{2}}$ , suy ra $Δ_{1} ⊥ Δ_{2}$ .

b) Để xét hai vecto $\vec{n_{1}} = (a_{1}; b_{1})$ và $\vec{n_{2}} = (a_{2}; b_{2})$ cùng phương hay không, ta xét biểu thức $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ :

+ Nếu $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ thì hai vecto cùng phương.

+ Nếu $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq 0$ thì hai vecto không cùng phương.

Trong trường hợp tất cả các hệ số $a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}$ đều khác 0, ta có thể xét hai trường hợp:

+ Nếu $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}$ thì hai vecto cùng phương.

+ Nếu $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ thì hai vecto không cùng phương.

3. Góc giữa hai đường thẳng

a) Khái niệm góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau tạo thành bốn góc:

- Nếu hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ không vuông góc với nhau thì góc nhọn trong bốn góc tạo thành được gọi là góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ .

- Nếu hai đường thẳng

Δ_{1}

và

Δ_{2}

vuông góc với nhau thì ta nói góc giữa hai đường thẳng

Δ_{1}

và

Δ_{2}

bằng

90^{o}

Quy ước:

+ Khi $Δ_{1}$ song song hoặc trùng với $Δ_{2}$ , ta nói góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ bằng $0^{o}$ .

+ Góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng $90^{o}$ , tức là $(Δ_{1}, Δ_{2}) \leq 90^{o}$ .

+ Góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ được kí hiệu là $(\hat{Δ_{1}, Δ_{2}})$ hoặc $(Δ_{1}, Δ_{2})$ .

b) Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có vecto pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (a_{1}; b_{1})$ , $\vec{n_{2}} = (a_{2}; b_{2})$ . Ta có:

\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = | \cos (\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}) | = \frac{| \vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} |}{| \vec{n_{1}} | . | \vec{n_{2}} |} \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} |}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}} . \sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}

Nhận xét: Nếu $Δ_{1}$ , $Δ_{2}$ có vecto chỉ phương $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ thì $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = | \cos (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}) |$ .

Chú ý:

+ Nếu $Δ_{1}$ , $Δ_{2}$ lần lượt có phương trình $a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ và $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ thì $(Δ_{1}, Δ_{2}) = 90^{o} \Leftrightarrow a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ .

+ Nếu $Δ_{1}$ , $Δ_{2}$ lần lượt có phương trình $y = k_{1} x + m_{1}$ và $y = k_{2} x + m_{2}$ thì ta có $(Δ_{1}, Δ_{2}) = 90^{o} \Leftrightarrow k_{1} k_{2} = - 1$ .

Nói cách khác, hai đường thẳng có tích các hệ số góc bằng -1 thì vuông góc với nhau.

4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $Δ$ có phương trình $a x + b y + c = 0$ $(a^{2} + b^{2} > 0)$ và điểm $M_{0} (x_{0}; y_{0})$ . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $Δ$ , kí hiệu là $d (M, Δ)$ , được tính bởi công thức sau:

d (M, Δ) = \frac{| a x_{0} + b y_{0} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

B. Bài tập

Bài 1:

a) Cho đường thẳng $Δ$ có vecto pháp tuyến $\vec{n} = (\frac{1}{2}; - \frac{5}{2})$ . Tìm vecto chỉ phương của $Δ$ .

b) Cho đường thẳng d có vecto chỉ phương $\vec{u} = (1; 3)$ . Tìm hai vecto pháp tuyến của d.

Giải:

a) $Δ$ có vecto pháp tuyến $\vec{n} = (\frac{1}{2}; - \frac{5}{2})$ , suy ra $Δ$ cũng có vecto pháp tuyến $2 \vec{n} = (1; - 5)$ và có vecto chỉ phương $\vec{u} = (5; 1)$ .

b) Hai vecto pháp tuyến của d là $\vec{n} = (3; - 1)$ , $- \vec{n} = (- 3; 1)$ .

Bài 2: Lập phương trình đường thẳng $Δ$ thỏa mãn:

a) Đi qua M(-2;-3) và có $\vec{n} = (2; 5)$ là vecto pháp tuyến.

b) Đi qua M(3;-5) và có $\vec{u} = (2; - 4)$ là vecto chỉ phương.

c) Đi qua A(-3;4) và B(1;-1).

Giải:

a) Phương trình $Δ$ là $2 (x + 2) + 5 (y + 3) = 0 \Leftrightarrow 2 x + 5 y + 19 = 0$ .

b) Phương trình $Δ$ là $\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 5}{- 4} \Leftrightarrow 4 x + 2 y - 2 = 0 \Leftrightarrow 2 x + y - 1 = 0$ .

c) Phương trình $Δ$ là $\frac{x + 3}{1 - (- 3)} = \frac{y - 4}{- 1 - 4} \Leftrightarrow \frac{x + 3}{4} = \frac{y - 4}{- 5} \Leftrightarrow 5 x + 4 y - 1 = 0$ .

Bài 3: Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng là đồ thị hàm số bậc nhất sau:

a) $d_{1} : y = 2 x + 3$

b) $d_{2} : y = - \frac{1}{2} x + 5$

c) $d_{3} : y = x$

Giải:

a) Ta có $y = 2 x + 3 \Leftrightarrow 2 x - y + 3 = 0$ .

Vậy phương trình tổng quát của $d_{1}$ là $2 x - y + 3 = 0$ .

b) Ta có $y = - \frac{1}{2} x + 5 \Leftrightarrow x + 2 y - 10 = 0$ .

Vậy phương trình tổng quát của $d_{2}$ là $x + 2 y - 10 = 0$ .

c) Ta có $y = x \Leftrightarrow x - y = 0$ .

Vậy phương trình tổng quát của $d_{3}$ là $x - y = 0$ .

Bài 4: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) $Δ_{1} : 2 x - y + 1 = 0$ và $Δ_{2} : - x + 2 y + 2 = 0$ .

b) $Δ_{3} : x - y - 1 = 0$ và $Δ_{4} : {\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 3 + 2 t \end{cases}$ .

Giải:

a) Đường thẳng $Δ_{1}$ có vecto chỉ phương $\vec{u_{1}} = (1; 2)$ , đường thẳng $Δ_{2}$ có vecto chỉ phương $\vec{u_{2}} = (- 2; - 1)$ .

Do $\frac{1}{- 2} \neq \frac{2}{- 1}$ nên $\vec{u_{1}}$ và $\vec{u_{2}}$ không cùng phương, suy ra $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ .

b) Đường thẳng $Δ_{3}$ , $Δ_{4}$ lần lượt có vecto chỉ phương là $\vec{u_{3}} = (1; 1)$ và $\vec{u_{4}} = (2; 2)$ . Suy ra $\vec{u_{4}} = 2 \vec{u_{3}}$ . Chọn t = 0, ta có điểm $M (1; 3) \in Δ_{4}$ . Do $1 - 3 - 1 \neq 0$ nên $M (1; 3) \notin Δ_{3}$ .

Vậy $Δ_{3}$ // $Δ_{4}$ .

Bài 5: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

$Δ_{1} : x - 2 y + 1 = 0$ và $Δ_{2} : 2 x - 4 y + 2 = 0$ .

Giải:

Tọa độ giao điểm của đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ là nghiệm của hệ phương trình:

${\begin{cases} x - 2 y + 1 = 0 \\ 2 x - 4 y + 2 = 0 \end{cases}$ .

Hệ trên có vô số nghiệm. Như vậy, $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có vô số điểm chung, tức hai đường thẳng trên trùng nhau.

Bài 6: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $Δ_{1} : {\begin{cases} x = - 1 + \sqrt{3} t_{1} \\ y = 1 + t_{1} \end{cases}$ và $Δ_{2} : {\begin{cases} x = - 1 + \sqrt{3} t_{2} \\ y = 4 - t_{2} \end{cases}$ .

b) $Δ_{1} : 3 x + y - 10 = 0$ và $Δ_{2} : - 2 x + y - 7 = 0$ .

Giải:

a) $Δ_{1}$ có vecto chỉ phương $\vec{u_{1}} = (\sqrt{3}; 1)$ . $Δ_{2}$ có vecto chỉ phương $\vec{u_{2}} = (\sqrt{3}; - 1)$ .

Do đó, ta có: $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| \sqrt{3} . \sqrt{3} + 1. (- 1) |}{\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 1^{2}} . \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{1}{2}$ .

Vậy $(Δ_{1}, Δ_{2}) = 60^{o}$ .

b) $Δ_{1}$ có vecto pháp tuyến $\vec{n_{1}} = (3; 1)$ . $Δ_{2}$ có vecto pháp tuyến $\vec{n_{2}} = (- 2; 1)$ .

Do đó, ta có: $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = | \cos (\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}) | = \frac{| \vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} |}{| \vec{n_{1}} | . | \vec{n_{2}} |} = \frac{| 3. (- 2) + 1.1 |}{\sqrt{3^{2} + 1^{2}} . \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Vậy $(Δ_{1}, Δ_{2}) = 45^{o}$ .

Bài 7: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $Δ$ trong mỗi trường hợp sau:

a) M(-2;1) và $Δ : 2 x - 3 y + 5 = 0$ .

b) M(1;-3) và $Δ : {\begin{cases} x = - 2 + 3 t \\ y = 2 - 4 t \end{cases}$ .

Giải:

a) Ta có: $d (M, Δ) = \frac{| 2. (- 2) - 3.1 + 5 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 3)}^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$ .

b) Đường thẳng $Δ$ đi qua điểm N(-2;2) và có vecto pháp tuyến $\vec{n} = (4; 3)$ .

Phương trình đường thẳng $Δ$ là $4 (x + 2) + 3 (y - 2) = 0$ . Từ đó, ta nhận được phương trình tổng quát của đường thẳng $Δ$ là $4 x + 3 y + 2 = 0$ .

Vậy $d (M, Δ) = \frac{| 4.1 + 3. (- 3) + 2 |}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = \frac{3}{5}$ .