Lý thuyết Đường tròn ngoại tiếp tam giác, đường tròn nội tiếp tam giác Toán 9 Cánh diều

1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác

Định nghĩa đường tròn ngoại tiếp tam giác

Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực của tam giác đó. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng khoảng cách từ giao điểm ba đường trung trực đến mỗi đỉnh của tam giác đó.

Ví dụ:

- Đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).

- Tâm O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Nhận xét:

- Vì ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm hai đường trung trực bất kì của tam giác đó.

- Mỗi tam giác có đúng một đường tròn ngoại tiếp.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông

Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng một nửa cạnh huyền.

Ví dụ:

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; BO).

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều

- Trong một tam giác đều, trọng tâm của tam giác đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó. - Tam giác đều cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Ví dụ:

Đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác đều ABC, bán kính $OA=OB=OC=\frac{\sqrt{3}}{3}AB$.

2. Đường tròn nội tiếp một tam giác

Định nghĩa đường tròn nội tiếp tam giác

Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác đó.

Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

- Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác của tam giác đó. - Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến mỗi cạnh của tam giác đó.

Ví dụ:

- Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC. Tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I).

- Tâm I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác.

Nhận xét:

- Vì ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm nên tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm hai đường phân giác bất kì của tam giác đó.

- Mỗi tam giác có đúng một đường tròn nội tiếp.

Đường tròn nội tiếp tam giác đều

- Trong một tam giác đều, trọng tâm của tam giác đồng thời là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó. - Tam giác đều cạnh a có bán kính đường tròn nội tiếp là $r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Ví dụ:

Đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC, bán kính $OD=OE=\frac{\sqrt{3}}{6}AB$.