Lý thuyết Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

A. Lý thuyết

1. Phương trình đường tròn

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R. Ta có M(x;y) nằm trên đường tròn (C) khi và chỉ khi

$I M = R \Leftrightarrow \sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}} = R \Leftrightarrow (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .

Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R là

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

Nhận xét: Phương trình đường tròn $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ có thể được viết dưới dạng $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ .

Phương trình $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ là phương trình của một đường tròn (C) khi và chỉ khi $a^{2} + b^{2} > c$ . Khi đó, (C) có tâm I(a;b) và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c}$ .

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(a;b) tại điểm $M_{0} (x_{0}; y_{0})$ nằm trên đường tròn là:

(x_{0} - a) (x - x_{0}) + (y_{0} - b) (y - y_{0}) = 0

B. Bài tập

Bài 1:

a) Tìm tâm và bán kính đường tròn (C) có phương trình: $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ .

b) Viết phương trình đường tròn (C’) tâm J(2;-1) và có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C).

Giải:

a) Ta viết phương trình của (C) ở dạng $(x - 2)^{2} + (y - (- 3))^{2} = 4^{2}$ .

Vậy (C) có tâm I(2;-3) và bán kính R = 4.

b) Đường tròn (C’) có tâm J(2;-1) và bán kính R’ = 2R = 8 nên có phương trình:

$(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 64$ .

Bài 2: Phương trình $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 4 = 0$ có phải là phương trình đường tròn không? Nếu có, xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

Giải:

Từ phương trình, ta có $a = \frac{- 4}{- 2} = 2$ ; $b = \frac{2}{- 2} = - 1$ ; c = -4.

Suy ra $a^{2} + b^{2} - c = 2^{2} + (- 1)^{2} - (- 4) = 9 > 0$ .

Vậy phương trình $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 4 = 0$ là phương trình đường tròn tâm I(2;-1) và bán kính $R = \sqrt{9} = 3$ .

Bài 3: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(-1;1), B(0;-2), C(0;2).

Giải:

Giả sử tâm của đường tròn là điểm I(a;b). Ta có $I A = I B = I C \Leftrightarrow I A^{2} = I B^{2} = I C^{2}$ .

Khi đó:

${\begin{cases} (- 1 - a)^{2} + (1 - b)^{2} = (0 - a)^{2} + (- 2 - b)^{2} \\ (0 - a)^{2} + (- 2 - b)^{2} = (0 - a)^{2} + (2 - b)^{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} a^{2} + b^{2} + 2 a - 2 b + 2 = a^{2} + b^{2} + 4 b + 4 \\ a^{2} + b^{2} + 4 b + 4 = a^{2} + b^{2} - 4 b + 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} 2 a - 2 b = 4 b + 2 \\ b = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \end{cases}$ .

Đường tròn tâm I(1;0) bán kính $R = I C = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 4 b + 4} = \sqrt{5}$ .

Phương trình đường tròn là $(x - 1)^{2} + (y - 0)^{2} = (\sqrt{5})^{2}$ .

Vậy phương trình đường tròn là $(x - 1)^{2} + y^{2} = 5$ .

Bài 4: Cho đường tròn (C) có phương trình $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 5$ . Điểm M(0;1) có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu có, hãy viết phương trình tiếp tuyến tại M của (C).

Giải:

Do $(0 + 1)^{2} + (1 - 3)^{2} = 5$ , nên điểm M thuộc (C).

Đường tròn (C) có tâm là I(-1;3). Tiếp tuyến của (C) tại M(0;1) có vecto pháp tuyến $- 1 (x - 0) + 2 (y - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 2 y + 2 = 0$ .