Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Cánh Diều

1. Định nghĩa Khái niệm GTLN, GTNN của hàm số

1. Định nghĩa

Khái niệm GTLN, GTNN của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

- Số M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) $\leq$ M với mọi $x \in D$ và tồn tại $x_{0} \in D$ sao cho $f (x_{0})$ = M.

Kí hiệu M = $max_{D} f (x)$ .

- Số m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) $\geq$ m với mọi $x \in D$ và tồn tại $x_{0} \in D$ sao cho $f (x_{0})$ = m.

Kí hiệu m = $min_{D} f (x)$ .

2. Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng, ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó. Căn cứ vào bảng biến thiên, ta tìm được GTLN và GTNN (nếu có) của hàm số.

Các bước tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên đoạn $[a; b]$ :

Tìm các điểm $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n} \in (a; b)$ , tại đó f’(x) = 0 hoặc không tồn tại.
Tính $f (x_{1}), f (x_{2}), . . ., f (x_{n}), f (a)$ và $f (b)$ .
Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:

M = $max_{[a; b]} f (x)$ ; m = $min_{[a; b]} f (x)$ .

Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = x^{4} - 4 x^{2} + 3$ trên đoạn $[0; 4]$ .

Ta có: $y^{'} = 4 x^{3} - 8 x = 4 x (x^{2} - 2); y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \sqrt{2}$ (vì $x \in [0; 4]$ ).

y(0) = 3; y(4) = 195; y( $\sqrt{2}$ ) = -1.

Do đó: $max_{[0; 4]} y = y (4) = 195$ ; $min_{[0; 4]} y = y (\sqrt{2}) = - 1$ .