Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Cùng khám phá

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

+) Số M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) $\leq$ M với mọi $x \in D$ và tồn tại $x_{0} \in D$ sao cho $f (x_{0})$ = M. Kí hiệu M = $max_{x \in D} f (x)$ hoặc M = $max_{D} f (x)$ .

+) Số m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) $\geq$ m với mọi $x \in D$ và tồn tại $x_{0} \in D$ sao cho $f (x_{0})$ = m. Kí hiệu m = $min_{x \in D} f (x)$ hoặc m = $min_{D} f (x)$ .

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ .

Tập xác định của hàm số là $[- 1; 1]$ .

Ta có:

$f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ $\geq$ 0; dấu bằng xảy ra khi $1 - x^{2} = 0$ , tức x = -1 hoặc x = 1.

Do đó $min_{x \in [- 1; 1]} f (x) = f (- 1) = f (1) = 0$ .

$f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ $\leq 1$ ; dấu bằng xảy ra khi $1 - x^{2} = 1$ , tức x = 0.

Do đó $max_{x \in [- 1; 1]} f (x) = f (0) = 1$ .

2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Các bước tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên đoạn $[a; b]$ :

Tìm các điểm $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n} \in (a; b)$ , tại đó f’(x) = 0 hoặc không tồn tại.
Tính $f (x_{1}), f (x_{2}), . . ., f (x_{n}), f (a)$ và $f (b)$ .
Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:
M = $max_{[a; b]} f (x)$ ; m = $min_{[a; b]} f (x)$ .

Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = x^{4} - 4 x^{2} + 3$ trên đoạn $[0; 4]$ .

Ta có: $y^{'} = 4 x^{3} - 8 x = 4 x (x^{2} - 2); y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \sqrt{2}$ (vì $x \in [0; 4]$ ).

y(0) = 3; y(4) = 195; y( $\sqrt{2}$ ) = -1.

Do đó: $max_{[0; 4]} y = y (4) = 195$ ; $min_{[0; 4]} y = y (\sqrt{2}) = - 1$ .