Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

 

- Trên đường tròn, lấy điểm $M(x_M;y_M)$ như hình vẽ. Khi đó:

$x=\cos \alpha$;

$y=\sin \alpha$;

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{y}{x}$ $\left(x\ne 0\right)$;

$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{x}{y}$ $\left(y\ne 0\right)$.

- Các giá trị $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\tan \alpha$, $\cot \alpha$ được gọi là các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\alpha$.

* Chú ý:

a) Trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.

Trục As có gốc ở điểm A(1;0) và song song với trục sin là trục tang.

Trục Bt có gốc ở điểm B(0;1) và song song với trục cosin gọi là trục cotang.

 

b) $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ xác định với mọi $\alpha \in R$.

$\tan \alpha$ xác định với các góc $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z$.

$\cot \alpha$ xác định với các góc $\alpha \ne k\pi ,k\in Z$.

c) Với mọi góc lượng giác $\alpha$ và số nguyên k, ta có:

$\begin{array}{c}\sin \left(\alpha +k2\pi \right)=\sin \alpha \\ \cos \left(\alpha +k2\pi \right)=\cos \alpha \\ \tan \left(\alpha +k\pi \right)=\tan \alpha \\ \cot \left(\alpha +k\pi \right)=\cot \alpha \end{array}$

d) Bảng các giá trị lượng giác đặc biệt:

 

2. Tính giá trị lượng giác của một góc bằng máy tính cầm tay

- Lần lượt ấn các phím SHIFT $\to$ MENU $\to$ 2:

Để chọn đơn vị độ: ấn phím 1 (Degree).

Để chọn đơn vị radian: ấn phím 2 (Radian).

- Ấn các phím MENU 1 để vào chế độ tính toán.

3. Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác

$\begin{array}{c}{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\\ 1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\left(\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z\right)\\ 1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\left(\alpha \ne k\pi ,k\in Z\right)\\ \tan \alpha .\cot \alpha =1\left(\alpha \ne \frac{k\pi }{2},k\in Z\right)\end{array}$

4. Giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt

• Hai góc đối nhau $\alpha$ và $-\alpha$

$\begin{array}{c}\sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha \\ \cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha \\ \tan \left(-\alpha \right)=-\tan \alpha \\ \cot \left(-\alpha \right)=-\cot \alpha \end{array}$

• Hai góc bù nhau $\alpha$ và $\pi -\alpha$

$\begin{array}{c}\sin \left(\pi -\alpha \right)=\sin \alpha \\ \cos \left(\pi -\alpha \right)=-\cos \alpha \\ \tan \left(\pi -\alpha \right)=-\tan \alpha \\ \cot \left(\pi -\alpha \right)=-\cot \alpha \end{array}$

• Hai góc phụ nhau $\alpha$ và $\frac{\pi }{2}-\alpha$

$\begin{array}{c}\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=cos\alpha \\ \cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha \\ \tan \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cot \alpha \\ \cot \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\tan \alpha \end{array}$

• Hai góc hơn kém $\pi$ và $\pi +\alpha$

$\begin{array}{c}\sin \left(\pi +\alpha \right)=-\sin \alpha \\ \cos \left(\pi +\alpha \right)=-\cos \alpha \\ \tan \left(\pi +\alpha \right)=\tan \alpha \\ \cot \left(\pi +\alpha \right)=\cot \alpha \end{array}$