Lý thuyết Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

A. Lý thuyết

Bất phương trình bậc hai một ẩn x là bất phương trình có một trong các dạng $a{x}^2+bx+c>0$, $a{x}^2+bx+c\ge 0$, $a{x}^2+bx+c<0$,  $a{x}^2+bx+c\le 0$ với $a\ne 0$. Nghiệm của bất phương trình bậc hai là các giá trị của biến x mà khi thay vào bất phương trình thì ta được bất đẳng thức đúng.

 

Giải một bất phương trình bậc hai là tìm tập nghiệm của nó.

Ta có thể giải bất phương trình bậc hai bằng cách xét dấu tam thức bậc hai tương ứng.

 

B. Bài tập

Bài 1: Các bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc hai một ẩn? Nếu là bất phương trình bậc hai một ẩn, x = 1 và x = 2 có là nghiệm của bất phương trình đó hay không?

a) $x^2+x-3\ge 0$.

b) $3x^3+x^2-1\le 0$.

Giải:

a) $x^2+x-3\ge 0$ là một bất phương trình bậc hai một ẩn.

Vì $1^2+1-3=-1<0$ nên x = 1 không là nghiệm của bất phương trình trên.

Vì $2^2+2-3=3>0$ nên x = 2 là một nghiệm của bất phương trình trên.

b) $3x^3+x^2-1\le 0$ không phải là một bất phương trình bậc hai một ẩn.

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

a) $3x^2+x+5\le 0$.

b) $-3x^2+2\sqrt{3}x-1\ge 0$.

c) $-x^2+2x+1>0$.

Giải:

a) Tam thức $f\left(x\right)=3x^2+x+5$ có $\Delta =-59<0$, hệ số a = 3 > 0 0 nên f(x) luôn dương (cùng dấu với a) với mọi x, tức là $3x^2+x+5>0$ với mọi $x\in R$. Suy ra bất phương trình vô nghiệm.

b) Tam thức $f\left(x\right)=-3x^2+2\sqrt{3}x-1$ có ${\Delta }^{\prime }=0$, hệ số a = -3 < 0 nên f(x) có nghiệm kép $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ và f(x) luôn âm (cùng dấu với a) với mọi $x\ne \frac{\sqrt{3}}{3}$, tức là $-3x^2+2\sqrt{3}x-1<0$ với mọi $x\ne \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

c) Tam thức $f\left(x\right)=-x^2+2x+1$ có ${\Delta }^{\prime }=2>0$ nên f(x) có hai nghiệm $x_1=1-\sqrt{2}$ và $x_2=1+\sqrt{2}$.

Mặt khác, a = -1 < 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right)$.