Lý thuyết Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9 Cánh diều

1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bước 1: (Thế) Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình một ẩn.

Bước 2. (Giải phương trình một ẩn) Giải phương trình (một ẩn) nhận được ở Bước 1 để tìm giá trị của ẩn đó.

Bước 3. (Tìm ẩn còn lại và kết luận) Thay giá trị vừa tìm được của ẩn đó ở Bước 2 vào biểu thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia ở Bước 1 để tìm giá trị của ẩn còn lại. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ví dụ:

1. Hệ phương trình ${\begin{cases} 2 x - y = 3 \\ x + 2 y = 4 \end{cases}$ được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có $y = 2 x - 3$ .

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được $x + 2 (2 x - 3) = 4$

Giải phương trình $x + 2 (2 x - 3) = 4$ , ta được:

$x + 2 (2 x - 3) = 4$

$5 x - 6 = 4$

$x = 2$ .

Thay $x = 2$ vào phương trình $y = 2 x - 3$ , ta có: $y = 2.2 - 3 = 1$ .

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x; y) = (2; 1)$ .

2. Hệ phương trình ${\begin{cases} x - y = - 2 \\ 2 x - 2 y = 8 \end{cases}$ được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có $x = y - 2$ .

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được

$2 (y - 2) - 2 y = 8$

$0 y - 4 = 8$ .

Do không có giá trị vào của y thỏa mãn hệ thức $0 y - 4 = 8$ nên hệ phương trình vô nghiệm.

3. Hệ phương trình ${\begin{cases} - x + y = - 2 \\ 3 x - 3 y = 6 \end{cases}$ được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có $y = x - 2$ .

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được

$3 x - 3 (x - 2) = 6$

$0 x = 0$ .

Ta thấy mọi giá trị của x đều thỏa mãn $0 x = 0$ .

Với giá trị tùy ý của x, giá trị tương ứng của y được tính bởi $y = x - 2$ .

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(x; x - 2)$ với $x \in R$ tùy ý.

Chú ý: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có nghiệm duy nhất hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

Bước 1. (Làm cho hai hệ số của một ẩn nào đó bằng nhau hoặc đối nhau) Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2. (Đưa phương trình về một ẩn) Cộng (hay trừ) từng vế hai phương trình của hệ phương trình nhận được ở Bước 1 để nhận được một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0, tức là nhận được phương trình một ẩn. Giải phương trình một ẩn đó.

Bước 3. (Tìm ẩn còn lại và kết luận) Thay giá trị vừa tìm được ở Bước 2 vào một trong hai phương trình của hệ đã cho để tìm giá trị của ẩn còn lại. Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ví dụ:

1. Hệ phương trình ${\begin{cases} 5 x - 7 y = 9 \\ 5 x - 3 y = 1 \end{cases}$ được giải bằng phương pháp cộng đại số như sau:

Trừ từng vế hai phương trình ta được $(5 x - 5 x) + (- 7 y + 3 y) = 9 - 1$ hay $- 4 y = 8$ , suy ra $y = - 2$ .

Thế $y = - 2$ vào phương trình thứ hai ta được $5 x - 7. (- 2) = 9$ hay $5 x + 14 = 9$ , suy ra $x = - 1$ .

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (-1;-2).

2. Hệ phương trình ${\begin{cases} 3 x - 5 y = 2 \\ - 6 x + 10 y = - 4 \end{cases}$ được giải bằng phương pháp cộng đại số như sau:

Chia hai vế của phương trình thứ hai cho 2, ta được hệ ${\begin{cases} 3 x - 5 y = 2 \\ - 3 x + 5 y = - 2 \end{cases}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới ta có $0 x + 0 y = 0$ . Hệ này luôn thỏa mãn với các giá trị tùy ý của x và y.

Với giá trị tùy ý của x, giá trị của y được tính nhờ hệ thức $3 x - 5 y = 2$ , suy ra $y = \frac{3}{5} x - \frac{2}{5}$ .

Vậy hệ phương trình đã cho cho nghiệm là $(x; \frac{3}{5} x - \frac{2}{5})$ với $x \in R$ .

Lưu ý: Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình tương tự như các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Hai xe cùng khởi hành một lúc ở hai tỉnh A và tỉnh B cách nhau 60km. Nếu đi ngược chiều thì gặp nhau sau 1 giờ; nếu đi cùng chiều thì xe đi nhanh sẽ đuổi kịp xe kia sau 3 giờ. Tìm vận tốc mỗi xe.

Lời giải:

Gọi x là vận tốc của xe đi nhanh, y là vận tốc của xe đi chậm ( $x, y > 0; x > y$ và x, y tính bằng km/h).

Sau 1 giờ hai xe gặp nhau, nên ta có phương trình:

x + y = 60

Sau 3 giờ mỗi xe đi được 3x; 3y ( km) và gặp nhau, nên ta có phương trình:

3x – 3y = 60.

Vậy, ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l} {\begin{cases} x + y = 60 \\ 3 x - 3 y = 60 \end{cases} \\ {\begin{cases} 3 x + 3 y = 180 \\ 3 x - 3 y = 60 \end{cases} \end{array}$

${\begin{cases} x = 40 \\ y = 20 \end{cases}$

( $x = 40; y = 20$ thỏa mãn các điều kiện đã nêu)

Vậy xe đi nhanh có vận tốc $40 (k m / h)$ , xe đi chậm có vận tốc $20 (k m / h)$ .

Ví dụ 2: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng của hai chữ số ấy bằng 12 và khi thay đổi thứ tự hai chữ số thì được một số lớn hơn số cũ là 18.

Lời giải:

Gọi x, y là các chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đã cho ( $x \in N$ , $0 < x \leq 9$ , $0 \leq x \leq 9$ )

Khi đó hai số có dạng $\bar{x y} = 10 x + y$ và $\bar{y x} = 10 y + x .$

Ta có hệ phương trình:

${\begin{cases} x + y = 12 \\ 10 y + x - 18 = 10 x + y \end{cases}$

${\begin{cases} x + y = 12 \\ x - y = 2 \end{cases}$

${\begin{cases} x = 5 \\ y = 7 \end{cases}$

Vậy số cần tìm là 57.

3. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Ta sử dụng loại máy tính cầm tay (MTCT) có chức năng này (có phím MODE/MENU). Dưới đây là hướng dẫn cụ thể với máy Fx-580VNX.

Ta viết phương trình cần giải dưới dạng ${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} \end{cases}$ .

Ví dụ: Giải hệ ${\begin{cases} 2 x + y - 4 = 0 \\ - 2 x + y = 0 \end{cases}$ , ta viết nó dưới dạng ${\begin{cases} 2 x + y = 4 \\ - 2 x + y = 0 \end{cases}$ .

Khi đó, ta có $a_{1} = 2$ , $b_{1} = 1$ , $c_{1} = 4$ , $a_{2} = - 2$ , $b_{2} = 1$ , $c_{2} = 0$ . Lần lượt thực hiện các bước sau:

Bước 1. Vào chức năng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách nhấn MENU rồi bấm phím 9 để chọn tính năng Equation/Func (Ptrình/HệPtrình).

Bấm phím 1 để chọn Simul Equation (hệ phương trình).

Cuối cùng, bấm phím 2 để giải hệ hai phương trình bậc nhất

Bước 2. Ta nhập các hệ số $a_{1}, b_{1}, c_{1}, a_{2}, b_{2}, c_{2}$ bằng cách bấm

Bước 3. Sau khi nhập xong, ta bấm phím =, màn hình hiện x = 1; tiếp tục bấm =, màn hình hiện y = 2. Ta hiểu nghiệm của hệ phương trình là (1;2).

Chú ý:

- Muốn xóa số vừa mới nhập thì bấm phím AC, muốn thay đổi số đã nhập ở vị trí nào đó thì di chuyển con trỏ đến vị trí đó rồi nhập số mới.

- Bấm phím ▲ hay ▼ để chuyển hiển thị các giá trị của x và y trong kết quả.

- Nếu máy báo Infinite Solution thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Nếu máy báo No Solution thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.