Lý thuyết Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9 Kết nối tri thức

1. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.

Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Lưu ý: Tùy theo hệ phương trình, ta có thể lựa chọn cách biểu diễn x theo y hoặc y theo x.

Ví dụ:

1. Hệ phương trình ${\begin{cases} 2 x - y = 3 \\ x + 2 y = 4 \end{cases}$ được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có $y = 2 x - 3$ .

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được $x + 2 (2 x - 3) = 4$ hay $5 x - 6 = 4$ , suy ra $x = 2$ .

Từ đó $y = 2.2 - 3 = 1$ .

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(2; 1)$ .

2. Hệ phương trình ${\begin{cases} x - y = - 2 \\ 2 x - 2 y = 8 \end{cases}$ được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có $x = y - 2$ .

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được $2 (y - 2) - 2 y = 8$ hay $0 y - 4 = 8$ .

Do không có giá trị vào của y thỏa mãn hệ thức $0 y - 4 = 8$ nên hệ phương trình vô nghiệm.

3. Hệ phương trình ${\begin{cases} - x + y = - 2 \\ 3 x - 3 y = 6 \end{cases}$ được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có $y = x - 2$ .

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được $3 x - 3 (x - 2) = 6$ hay $0 x = 0$ .

Ta thấy mọi giá trị của x đều thỏa mãn $0 x = 0$ .

Với giá trị tùy ý của x, giá trị tương ứng của y được tính bởi $y = x - 2$ .

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(x; x - 2)$ với $x \in R$ tùy ý.

2. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

Bước 1. Đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau bằng cách nhân hai vế của một phương trình với một số thích hợp (khác 0).

Bước 2. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.

Bước 3. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ví dụ:

1. Hệ phương trình ${\begin{cases} 5 x - 7 y = 9 \\ 5 x - 3 y = 1 \end{cases}$ được giải bằng phương pháp cộng đại số như sau:

Trừ từng vế hai phương trình ta được $(5 x - 5 x) + (- 7 y + 3 y) = 9 - 1$ hay $- 4 y = 8$ , suy ra $y = - 2$ .

Thế $y = - 2$ vào phương trình thứ hai ta được $5 x - 7. (- 2) = 9$ hay $5 x + 14 = 9$ , suy ra $x = - 1$ .

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (-1;-2).

2. Hệ phương trình ${\begin{cases} 3 x - 5 y = 2 \\ - 6 x + 10 y = - 4 \end{cases}$ được giải bằng phương pháp cộng đại số như sau:

Chia hai vế của phương trình thứ hai cho 2, ta được hệ ${\begin{cases} 3 x - 5 y = 2 \\ - 3 x + 5 y = - 2 \end{cases}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới ta có $0 x + 0 y = 0$ . Hệ này luôn thỏa mãn với các giá trị tùy ý của x và y.

Với giá trị tùy ý của x, giá trị của y được tính nhờ hệ thức $3 x - 5 y = 2$ , suy ra $y = \frac{3}{5} x - \frac{2}{5}$ .

Vậy hệ phương trình đã cho cho nghiệm là $(x; \frac{3}{5} x - \frac{2}{5})$ với $x \in R$ .

3. Cách tìm nghiệm của hệ hai phương trình bằng máy tính cầm tay

Ta sử dụng loại máy tính cầm tay (MTCT) có chức năng này (có phím MODE/MENU). Dưới đây là hướng dẫn cụ thể với máy Fx-580VNX.

Ta viết phương trình cần giải dưới dạng ${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} \end{cases}$ .

Ví dụ: Giải hệ ${\begin{cases} 2 x + y - 4 = 0 \\ - 2 x + y = 0 \end{cases}$ , ta viết nó dưới dạng ${\begin{cases} 2 x + y = 4 \\ - 2 x + y = 0 \end{cases}$ .

Khi đó, ta có $a_{1} = 2$ , $b_{1} = 1$ , $c_{1} = 4$ , $a_{2} = - 2$ , $b_{2} = 1$ , $c_{2} = 0$ . Lần lượt thực hiện các bước sau:

Bước 1. Vào chức năng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách nhấn MENU rồi bấm phím 9 để chọn tính năng Equation/Func (Ptrình/HệPtrình).

Bấm phím 1 để chọn Simul Equation (hệ phương trình).

Cuối cùng, bấm phím 2 để giải hệ hai phương trình bậc nhất

Bước 2. Ta nhập các hệ số $a_{1}, b_{1}, c_{1}, a_{2}, b_{2}, c_{2}$ bằng cách bấm

Bước 3. Sau khi nhập xong, ta bấm phím =, màn hình hiện x = 1; tiếp tục bấm =, màn hình hiện y = 2. Ta hiểu nghiệm của hệ phương trình là (1;2).

Chú ý:

- Muốn xóa số vừa mới nhập thì bấm phím AC, muốn thay đổi số đã nhập ở vị trí nào đó thì di chuyển con trỏ đến vị trí đó rồi nhập số mới.

- Bấm phím ▲ hay ▼ để chuyển hiển thị các giá trị của x và y trong kết quả.

- Nếu máy báo Infinite Solution thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Nếu máy báo No Solution thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.