Lý thuyết Giới hạn của dãy số

1, Giới hạn hữu hạn của dãy số

- Dãy số $(u_{n})$ có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu $| u_{n} |$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu $lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ , hay $u_{n} \to 0$ khi $n \to + \infty$ , hay $lim u_{n} = 0$ .

- Dãy số $(u_{n})$ có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu $lim_{n \to + \infty} (u_{n} - a) = 0$ , kí hiệu $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a$ , hay $u_{n} \to a$ khi $n \to + \infty$ , hay $lim u_{n} = a$ .

* Chú ý: Nếu $u_{n} = c$ (c là hằng số) thì $lim_{n \to + \infty} u_{n} = c$ .

2. Một số giới hạn cơ bản

+ $lim \frac{1}{n} = 0$ , $lim \frac{1}{n^{k}} = 0$ $k \in Z$ .

+ $lim \frac{c}{n} = 0$ , $lim \frac{c}{n^{k}} = 0$ $k \in Z$ , c là hằng số.

+ Nếu $| q | < 1$ thì $lim q^{n} = 0$ .

+ $lim {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e$ .

3. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

a) Nếu $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a, lim_{n \to + \infty} v_{n} = b$ thì:

$lim_{n \to + \infty} (u_{n} \pm v_{n}) = a \pm b$ .

$lim_{n \to + \infty} (u_{n} . v_{n}) = a . b$ .

$lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = \frac{a}{b} (b \neq 0)$ .

b) Nếu $u_{n} \geq 0$ thì với mọi n và $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a$ thì $a \geq 0$ và $lim_{n \to + \infty} \sqrt{u_{n}} = \sqrt{a}$ .

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân lùi vô hạn $u_{1}, u_{1} q, . . ., u_{1} q^{n - 1}, . . .$ có công bội q thỏa mãn $| q | < 1$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:

$S = \frac{u_{1}}{1 - q}$ $(| q | < 1)$

4. Giới hạn vô cực

- Dãy số $(u_{n})$ được gọi là có giới hạn $+ \infty$ khi $n \to + \infty$ nếu $u_{n}$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = + \infty$ , hay $u_{n} \to + \infty$ khi $n \to + \infty$ .

- Dãy số $(u_{n})$ được gọi là có giới hạn $- \infty$ khi $n \to + \infty$ nếu $lim_{x \to + \infty} (- u_{n}) = + \infty$ , kí hiệu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = - \infty$ , hay $u_{n} \to - \infty$ khi $n \to + \infty$ .

* Nhận xét:

+ $lim n^{k} = + \infty$ với $k \in Z^{+}$ .

+ $lim q^{n} = + \infty$ với $q \in R$ , $q > 1$ .

+ Nếu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = a$ và $lim_{x \to + \infty} | v_{n} | = + \infty$ thì $lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = 0$ .

+ Nếu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = a > 0$ và $lim_{x \to + \infty} v_{n} = 0$ , $v_{n} > 0$ thì $lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = + \infty$ .

+ $lim_{x \to + \infty} u_{n} = + \infty \Leftrightarrow lim_{n \to + \infty} (- u_{n}) = - \infty$ .