1, Giới hạn hữu hạn của dãy số
- Dãy số (un) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu limn→+∞un=0, hay un→0 khi n→+∞, hay limun=0.
- Dãy số (un) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu limn→+∞(un−a)=0, kí hiệu limn→+∞un=a, hay un→a khi n→+∞, hay limun=a.
* Chú ý: Nếu un=c (c là hằng số) thì limn→+∞un=c.
2. Một số giới hạn cơ bản
+ lim1n=0, lim1nk=0 k∈Z.
+ limcn=0, limcnk=0 k∈Z, c là hằng số.
+ Nếu |q|<1 thì limqn=0.
+ lim(1+1n)n=e.
3. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số
a) Nếu limn→+∞un=a,limn→+∞vn=b thì:
limn→+∞(un±vn)=a±b.
limn→+∞(un.vn)=a.b.
limn→+∞(unvn)=ab(b≠0).
b) Nếu un≥0 thì với mọi n và limn→+∞un=a thì a≥0 và limn→+∞√un=√a.
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân lùi vô hạn u1,u1q,...,u1qn−1,... có công bội q thỏa mãn |q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:
S=u11−q (|q|<1)
4. Giới hạn vô cực
- Dãy số (un) được gọi là có giới hạn +∞ khi n→+∞ nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu limx→+∞un=+∞, hay un→+∞ khi n→+∞.
- Dãy số (un) được gọi là có giới hạn −∞khi n→+∞ nếu limx→+∞(−un)=+∞, kí hiệu limx→+∞un=−∞, hay un→−∞ khi n→+∞.
* Nhận xét:
+ limnk=+∞ với k∈Z+.
+ limqn=+∞ với q∈R, q>1.
+ Nếu limx→+∞un=a và limx→+∞|vn|=+∞ thì limn→+∞(unvn)=0.
+ Nếu limx→+∞un=a>0 và limx→+∞vn=0, vn>0 thì limn→+∞(unvn)=+∞.
+ limx→+∞un=+∞⇔limn→+∞(−un)=−∞.
