Lý thuyết Giới hạn của dãy số

I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1. Dãy số có giới hạn bằng 0

- Dãy số $(u_{n})$ có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu $| u_{n} |$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu $lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ hay $u_{n} \to 0$ khi $n \to + \infty$ hay $lim u_{n} = 0$ .

* Chú ý:

+ $lim \frac{1}{n^{k}} = 0, k \in Z .$

+ Nếu $| q | < 1$ thì $lim q^{n} = 0$

2. Dãy số có giới hạn hữu hạn

Ta nói dãy số $(u_{n})$ có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu $lim_{n \to + \infty} (u_{n} - a) = 0$ , kí hiệu $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a$ hay $u_{n} \to a$ khi $n \to + \infty$ .

* Chú ý: Nếu $u_{n} = c$ (c là hằng số) thì $lim_{n \to + \infty} u_{n} = c$

3. Định lí về giới hạn hữu hạn

Cho $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a, lim_{n \to + \infty} v_{n} = b$ và c là hằng số thì

$lim_{n \to + \infty} (u_{n} \pm v_{n}) = a \pm b$
$lim_{n \to + \infty} (u_{n} . v_{n}) = a . b$
$lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = \frac{a}{b} (b \neq 0)$
Nếu $u_{n} \geq 0$ thì với mọi n và $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a$ thì $a \geq 0$ và $lim_{n \to + \infty} \sqrt{u_{n}} = \sqrt{a}$

4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân $(u_{n})$ có công bội q thỏa mãn $| q | < 1$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:

$S = \frac{u_{1}}{1 - q} (| q | < 1)$

II. Giới hạn vô cực

- Dãy số $(u_{n})$ được gọi là có giới hạn $+ \infty$ khi $n \to + \infty$ nếu $u_{n}$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = + \infty$ hay $u_{n} \to + \infty$ khi $n \to + \infty$ .

- Dãy số $(u_{n})$ được gọi là có giới hạn $- \infty$ khi $n \to + \infty$ nếu $lim_{x \to + \infty} (- u_{n}) = + \infty$ , kí hiệu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = - \infty$ hay $u_{n} \to - \infty$ khi $n \to + \infty$ .

*Nhận xét:

$\begin{array}{l} a, lim n^{k} = + \infty, k \in N, k \geq 1. \\ b, lim q^{n} = + \infty; q \in R, q > 1. \end{array}$

* Chú ý:

Nếu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = a$ và $lim_{x \to + \infty} v_{n} = + \infty$ (hoặc $lim_{x \to + \infty} v_{n} = - \infty$ )thì $lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = 0$ .

Nếu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = a > 0$ và $lim_{x \to + \infty} v_{n} = 0, v_{n} > 0$ thì $lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = + \infty$ .

Nếu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = a > 0$ và $lim_{x \to + \infty} v_{n} = 0, v_{n} < 0$ thì $lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = - \infty$ .

Nếu $lim_{x \to + \infty} v_{n} = a > 0$ và $lim_{x \to + \infty} u_{n} = + \infty$ thì $lim_{n \to + \infty} (u_{n} . v_{n}) = + \infty$ .

Nếu $lim_{x \to + \infty} v_{n} = a < 0$ và $lim_{x \to + \infty} u_{n} = + \infty$ thì $lim_{n \to + \infty} (u_{n} . v_{n}) = - \infty$