Lý thuyết Giới hạn của dãy số

1, Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói dãy số $(u_{n})$ có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu $| u_{n} |$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ hay $u_{n} \to 0$ khi $n \to + \infty$ .

Ta nói dãy số $(u_{n})$ có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu $lim_{n \to + \infty} (u_{n} - a) = 0$ , kí hiệu $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a$ hay $u_{n} \to a$ khi $n \to + \infty$ .

* Chú ý: Nếu $u_{n} = c$ (c là hằng số) thì $lim_{n \to + \infty} u_{n} = c$ .

2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

a) Nếu $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a$ , $lim_{n \to + \infty} v_{n} = b$ thì

$lim_{n \to + \infty} (u_{n} \pm v_{n}) = a \pm b$ ;

$lim_{n \to + \infty} (u_{n} . v_{n}) = a . b$ ;

$lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = \frac{a}{b} (b \neq 0)$ .

b) Nếu $u_{n} \geq 0$ thì với mọi n và $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a$ thì $a \geq 0$ và $lim_{n \to + \infty} \sqrt{u_{n}} = \sqrt{a}$ .

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

$S = \frac{u_{1}}{1 - q}$ $(| q | < 1)$ .

4. Giới hạn vô cực của dãy số

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là có giới hạn $+ \infty$ khi $n \to + \infty$ nếu $u_{n}$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = + \infty$ hay $u_{n} \to + \infty$ khi $n \to + \infty$ .

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là có giới hạn $- \infty$ khi $n \to + \infty$ nếu $lim_{x \to + \infty} (- u_{n}) = + \infty$ , kí hiệu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = - \infty$ hay $u_{n} \to - \infty$ khi $n \to + \infty$ .

*Quy tắc:

Nếu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = a$ và $lim_{x \to + \infty} v_{n} = + \infty$ (hoặc $lim_{x \to + \infty} v_{n} = - \infty$ ) thì $lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = 0$ .

Nếu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = a > 0$ , $lim_{x \to + \infty} v_{n} = 0$ và $v_{n} > 0$ với mọi n thì $lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = + \infty$ .

Nếu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = + \infty$ và $lim_{x \to + \infty} v_{n} = a > 0$ thì $lim_{n \to + \infty} (u_{n} . v_{n}) = + \infty$ .