1, Giới hạn hữu hạn của dãy số
Ta nói dãy số (un) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu limn→+∞un=0 hay un→0 khi n→+∞.
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu limn→+∞(un−a)=0, kí hiệu limn→+∞un=a hay un→a khi n→+∞.
* Chú ý: Nếu un=c (c là hằng số) thì limn→+∞un=c.
2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số
a) Nếu limn→+∞un=a, limn→+∞vn=b thì
limn→+∞(un±vn)=a±b;
limn→+∞(un.vn)=a.b;
limn→+∞(unvn)=ab(b≠0).
b) Nếu un≥0 thì với mọi n và limn→+∞un=a thì a≥0 và limn→+∞√un=√a.
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
S=u11−q (|q|<1).
4. Giới hạn vô cực của dãy số
Dãy số (un) được gọi là có giới hạn +∞ khi n→+∞ nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu limx→+∞un=+∞ hay un→+∞ khi n→+∞.
Dãy số (un) được gọi là có giới hạn −∞ khi n→+∞ nếu limx→+∞(−un)=+∞, kí hiệu limx→+∞un=−∞ hay un→−∞ khi n→+∞.
*Quy tắc:
Nếu limx→+∞un=a và limx→+∞vn=+∞ (hoặclimx→+∞vn=−∞) thì limn→+∞(unvn)=0.
Nếu limx→+∞un=a>0, limx→+∞vn=0 và vn>0 với mọi n thì limn→+∞(unvn)=+∞.
Nếu limx→+∞un=+∞ và limx→+∞vn=a>0 thì limn→+∞(un.vn)=+∞.
