Lý thuyết Giới hạn của hàm số

I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1. Định nghĩa

Cho khoảng K chứa điểm $x_0$ và hàm số $f\left(x\right)$ xác định trên K hoặc trên $K\setminus \left\{x_0\right\}$. Hàm số $f\left(x\right)$ có giới hạn là số L khi $x$ dần tới $x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì, $x_n\in K\setminus \left\{x_0\right\}$ và $x_n\to x_0$ thì $f\left(x_n\right)\to L$.

Kí hiệu $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=L$ hay $f\left(x\right)\to L$, khi $x_n\to x_0$.

2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số

a) Nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=L$ và $\underset{x\to x_0}{lim}g\left(x\right)=M$$\left(L,M\in R\right)$ thì:

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]=L\pm M$;

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[f\left(x\right).g\left(x\right)\right]=L.M$;

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]=\frac{L}{M}\left(M\ne 0\right)$.

b) Nếu $f\left(x\right)\ge 0$ và $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=L$ thì $L\ge 0$ và $\underset{x\to x_0}{lim}\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{L}$.

3. Giới hạn một phía

- Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(a;x_0\right)$. Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số $y=f\left(x\right)$ khi $x\to x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì, $a<x_n<x_0$ và $x_n\to x_0$ ta có $f\left(x_n\right)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f\left(x\right)=L$.

- Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(x_0;b\right)$. Số L là giới hạn bên của hàm số $y=f\left(x\right)$ khi $x\to x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì, $x_0<x_n<b$ và $x_n\to x_0$ ta có $f\left(x_n\right)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f\left(x\right)=L$.

* Nhận xét: $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=L\iff \underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f\left(x\right)=L$.

II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

- Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(a;+\infty \right)$. Ta nói hàm số $f\left(x\right)$ có giới hạn là số L khi $x\to +\infty$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì, $x_n>a$ và $x_n\to +\infty$, ta có $f\left(x_n\right)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=L$ hay $f\left(x\right)\to L$ khi $x\to +\infty$.

- Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(-\infty ;b\right)$. Ta nói hàm số $f\left(x\right)$ có giới hạn là số L khi $x\to -\infty$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì $x_n<b$ và $x_n\to -\infty$ta có $f\left(x_n\right)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=L$ hay $f\left(x\right)\to L$ khi $x\to -\infty$.

* Nhận xét:

- Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.

- Với c là hằng số, k là một số nguyên dương ta có:

$\underset{x\to +\infty }{lim}c=c$, $\underset{x\to -\infty }{lim}c=c$,$\underset{x\to +\infty }{lim}\left(\frac{c}{x^k}\right)=0,\underset{x\to -\infty }{lim}\left(\frac{c}{x^k}\right)=0$.

III. Giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm

- Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(a;+\infty \right)$. Ta nói hàm số $f\left(x\right)$ có giới hạn $+\infty$ khi $x\to a^{+}$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì, $x_n>a$ và $x_n\to a$ta có $f\left(x_n\right)\to +\infty$.

Kí hiệu $\underset{x\to a^{+}}{lim}f\left(x\right)=+\infty$ hay $f\left(x\right)\to +\infty$ khi $x\to a^{+}$.

- Các giới hạn $\underset{x\to a^{+}}{lim}f\left(x\right)=-\infty$, $\underset{x\to a^{-}}{lim}f\left(x\right)=+\infty$, $\underset{x\to a^{-}}{lim}f\left(x\right)=-\infty$ được định nghĩa tương tự.

IV. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực

- Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(a;x_0\right)$. Ta nói hàm số $f\left(x\right)$ có giới hạn $+\infty$ khi $x\to x_0$ về bên trái nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì, $x_n>a$ và $x_n\to +\infty$ ta có $f\left(x_n\right)\to +\infty$, kí hiệu $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=+\infty$.

Kí hiệu $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=+\infty$ hay $f\left(x\right)\to +\infty$ khi $x\to +\infty$.

- Các giới hạn $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=-\infty$, $\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=+\infty$, $\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=-\infty$ được định nghĩa tương tự.

* Chú ý:

• $\underset{x\to +\infty }{lim}{x}^k=+\infty ,k\in Z^{+}$.
• $\underset{x\to -\infty }{lim}{x}^k=+\infty ,$ k là số nguyên dương chẵn.
• $\underset{x\to -\infty }{lim}{x}^k=-\infty ,$ k là số nguyên dương lẻ.
•