Lý thuyết Giới hạn của hàm số

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Cho khoảng K chứa điểm $x_0$ và hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên K hoặc trên $K\setminus \left\{x_0\right\}$. Ta nói hàm số $y=f\left(x\right)$ có giới hạn hữu hạn là số L khi $x$ dần tới $x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì, $x_n\in K\setminus \left\{x_0\right\}$ và $x_n\to x_0$, ta có $f\left(x_n\right)\to L$.

Kí hiệu $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=L$ hay $f\left(x\right)\to L$, khi $x_n\to x_0$.

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

a) Nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=L$ và $\underset{x\to x_0}{lim}g\left(x\right)=M$ thì:

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]=L\pm M$

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[f\left(x\right).g\left(x\right)\right]=L.M$

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]=\frac{L}{M}\left(M\ne 0\right)$

b) Nếu $f\left(x\right)\ge 0$ với mọi $x\in \left(a;b\right)\setminus \left\{x_0\right\}$ và $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=L$ thì $L\ge 0$ và $\underset{x\to x_0}{lim}\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{L}$.

* Nhận xét:

a) $\underset{x\to x_0}{lim}{x}^k={x_0}^k,k\in Z^{+}$.

b) $\underset{x\to x_0}{lim}\left[c.f\left(x\right)\right]=c.\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$ ($c\in R$, nếu tồn tại $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)\in R$)

3. Giới hạn một phía

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(x_0;b\right)$.

Ta nói $y=f\left(x\right)$ có giới hạn bên phải là số L khi $x\to x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì, $x_0<x_n<b$ và $x_n\to x_0$ thì $f\left(x_n\right)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f\left(x\right)=L$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(a;x_0\right)$.

Ta nói $y=f\left(x\right)$có giới hạn bên phải là số L khi $x\to x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì, $a<x_n<x_0$ và $x_n\to x_0$ thì $f\left(x_n\right)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f\left(x\right)=L$.

* Chú ý:

• $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=L\iff \underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f\left(x\right)=L$
• $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f\left(x\right)\ne \underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f\left(x\right)$ thì không tồn tại $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$.
• Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số ở Mục 2 vẫn đúng khi ta thay $x\to x_0$ bằng $x\to {x_0}^{+}$ hoặc $x\to {x_0}^{-}$.

4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(a;+\infty \right)$. Ta nói hàm số $f\left(x\right)$ có giới hạn là số L khi $x\to +\infty$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì $x_n>a$ và $x_n\to +\infty$ ta có $f\left(x_n\right)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=L$ hay $f\left(x\right)\to L$ khi $x\to +\infty$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(-\infty ;a\right)$. Ta nói hàm số $f\left(x\right)$ có giới hạn là số L khi $x\to -\infty$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì $x_n<a$ và $x_n\to -\infty$ ta có $f\left(x_n\right)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=L$ hay $f\left(x\right)\to L$ khi $x\to -\infty$.

* Nhận xét:

• Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
• Với c là hằng số, k là một số nguyên dương ta có:

$\underset{x\to \pm \infty }{lim}c=c,$$\underset{x\to \pm \infty }{lim}\left(\frac{c}{x^k}\right)=0$

5. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(x_0;b\right)$.

Ta nói hàm số $f\left(x\right)$ có giới hạn bên phải là $+\infty$ khi $x\to x_0$ về bên phải nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì thỏa mãn $x_0<x_n<b$ và $x_n\to x_0$ ta có $f\left(x_n\right)\to +\infty$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f\left(x\right)=+\infty$.

Ta nói hàm số $f\left(x\right)$ ó giới hạn bên phải là $-\infty$ khi $x\to x_0$ về bên trái nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì thỏa mãn $a<x_n<x_0$ và $x_n\to x_0$ ta có $f\left(x_n\right)\to +\infty$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f\left(x\right)=+\infty$.

Các giới hạn một bên $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f\left(x\right)=-\infty$, $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f\left(x\right)=-\infty$ được định nghĩa tương tự.

* Chú ý:

+ $\underset{x\to +\infty }{lim}{x}^k=+\infty ,k\in Z^{+}$.

+ $\underset{x\to -\infty }{lim}{x}^k=+\infty ,$ k là số nguyên dương chẵn.

+ $\underset{x\to -\infty }{lim}{x}^k=-\infty ,$ k là số nguyên dương lẻ.

+ $\underset{x\to a^{+}}{lim}\frac{1}{x-a}=+\infty ,\underset{x\to a^{-}}{lim}\frac{1}{x-a}=-\infty \left(a\in R\right)$

Nếu $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f\left(x\right)=L\ne 0$ và $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}g\left(x\right)=+\infty$ hoặc $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}g\left(x\right)=-\infty$ thì $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}\left[f\left(x\right).g\left(x\right)\right]$ được tính như sau:

Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay ${x_0}^{+}$ thành ${x_0}^{-}$ (hoặc $+\infty$, $-\infty$).