Lý thuyết Giới hạn của hàm số

I. Giới hạn của hàm số tại một điểm

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Cho điểm $x_0$ thuộc khoảng K và hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên K hoặc trên $K\setminus \left\{x_0\right\}$. Ta nói hàm số $y=f\left(x\right)$ có giới hạn hữu hạn là số L khi $x$ dần tới $x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì, $x_n\in K\setminus \left\{x_0\right\}$ và $x_n\to x_0$, ta có$f\left(x_n\right)\to L$

Kí hiệu $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=L$ hay $f\left(x\right)\to L$, khi $x_n\to x_0$.

2. Định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số

a, Cho $y=f\left(x\right)$ và $y=g\left(x\right)$ là các hàm số xác định trên $K\setminus \left\{x_0\right\}$

Nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=L$ và $\underset{x\to x_0}{lim}g\left(x\right)=M$, trong đó M, L là các số thực thì:

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]=L\pm M$

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[f\left(x\right).g\left(x\right)\right]=L.M$

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]=\frac{L}{M}\left(M\ne 0\right)$

b, Nếu $f\left(x\right)\ge 0$với mọi $x\in \left(a;b\right)\setminus \left\{x_0\right\}$ và $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=L$ thì $L\ge 0$ và $\underset{x\to x_0}{lim}\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{L}$.

3. Giới hạn vô cực

Cho điểm $x_0$thuộc khoảng K và hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên K hoặc $K\setminus \left\{x_0\right\}$. Ta nói hàm số $f\left(x\right)$ có giới hạn là $+\infty$(hoặc $-\infty$ ) khi $x$ dần tới $x_0$ nếu với mọi dãy số $\left(x_n\right)$, $x_n\in K\setminus \left\{x_0\right\}$ mà $lim{x}_n=x_0$, ta đều có $limf\left(x_n\right)=+\infty$ (hoặc $limf\left(x_n\right)=-\infty$ kí hiệu kí hiệu $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=+\infty$ hoặc $f\left(x\right)\to +\infty$ khi  $x\to x_0$ (tương tự kí hiệu $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=-\infty$ hoặc $f\left(x\right)\to -\infty$ khi  $x\to x_0$ ).

II. Giới hạn một phía

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(x_0;b\right)$.

Ta nói $y=f\left(x\right)$ có giới hạn bên phải là số L khi $x\to x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì,$x_0<x_n<b$ và $x_n\to x_0$ta có $f\left(x_n\right)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f\left(x\right)=L$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(a;x_0\right)$.

Ta nói $y=f\left(x\right)$ có giới hạn bên phải là số L khi $x\to x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì,$a<x_n<x_0$ và $x_n\to x_0$ta có $f\left(x_n\right)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f\left(x\right)=L$.

*Định lí:

$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=L\iff \underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f\left(x\right)=L$

III. Giới hạn của hàm số tại vô cực

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(a;+\infty \right)$. Ta nói hàm số $f\left(x\right)$ có giới hạn là số L khi $x\to +\infty$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì $x_n>a$ và $x_n\to +\infty$ta có $f\left(x_n\right)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=L$ hay $f\left(x\right)\to L$ khi $x\to +\infty$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(-\infty ;a\right)$. Ta nói hàm số $f\left(x\right)$ có giới hạn là số L khi $x\to -\infty$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì $x_n<a$ và $x_n\to -\infty$ta có $f\left(x_n\right)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=L$ hay $f\left(x\right)\to L$ khi $x\to -\infty$.

* Nhận xét:

• Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
• Với c là hằng số, k là một số nguyên dương ta có:

$\underset{x\to \pm \infty }{lim}c=c,$$\underset{x\to \pm \infty }{lim}\left(\frac{c}{x^k}\right)=0$

2. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực

a, Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(a;+\infty \right)$.

Ta nói hàm số $f\left(x\right)$ có giới hạn là $+\infty$ khi $x\to +\infty$ nếu với dãy số $\left(x_n\right),x_n>a$và  $lim{x}_n=+\infty$, ta đều có $limf\left(x_n\right)=+\infty$, kí hiệu $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=+\infty$ hoặc $f\left(x\right)\to +\infty$ khi  $x\to +\infty$ .

b, Cho hàm số $y=f\left(x\right)$xác định trên khoảng $\left(-\infty ;a\right)$.

Ta nói hàm số $f\left(x\right)$có giới hạn là $+\infty$ khi $x\to -\infty$ nếu với dãy số $\left(x_n\right),x_n<a$và  $lim{x}_n=-\infty$, ta đều có $limf\left(x_n\right)=+\infty$, kí hiệu $\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=+\infty$ hoặc $f\left(x\right)\to +\infty$ khi  $x\to -\infty$

Từ hai định nghĩa trên, ta có định nghĩa $f\left(x\right)\to -\infty$  khi $x\to +\infty$ (hay $x\to -\infty$) như sau:

c, $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=-\infty \iff \underset{x\to +\infty }{lim}\left[-f\left(x\right)\right]=+\infty$

d, $\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=-\infty \iff \underset{x\to -\infty }{lim}\left[-f\left(x\right)\right]=+\infty$

* Chú ý:

• $\underset{x\to +\infty }{lim}{x}^k=+\infty ,k\in Z^{+}.$
• $\underset{x\to -\infty }{lim}{x}^k=+\infty ,$ k là số nguyên dương chẵn.
• $\underset{x\to -\infty }{lim}{x}^k=-\infty ,$ k là số nguyên dương lẻ.

3. Quy tắc tìm giới hạn của tích và thương tại vô cực

*Giới hạn của tích$\underset{x\to +\infty }{lim}\left[f\left(x\right).g\left(x\right)\right]$

 

*Giới hạn của thương $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$

 

Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay $+\infty$ thành $-\infty$ (${x_0}^{-}$hoặc ${x_0}^{+}$)