Lý thuyết Giới hạn của hàm số

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm $x_{0}$ và hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng (a; b), có thể trừ điểm $x_{0}$ . Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn là số L khi $x$ dần tới $x_{0}$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì, $x_{n} \in (a; b)$ , $x_{n} \neq x_{0}$ và $x_{n} \to x_{0}$ , ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ hay $f (x) \to L$ , khi $x_{n} \to x_{0}$ .

* Quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm

a) Nếu $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ và $lim_{x \to x_{0}} g (x) = M$ thì

$lim_{x \to x_{0}} [f (x) \pm g (x)] = L \pm M$ ;

$lim_{x \to x_{0}} [f (x) . g (x)] = L . M$ ;

$lim_{x \to x_{0}} [\frac{f (x)}{g (x)}] = \frac{L}{M} (M \neq 0)$ .

b) Nếu $f (x) \geq 0$ với mọi $x \in (a; b) ∖ {x_{0}}$ và $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ thì $L \geq 0$ và $lim_{x \to x_{0}} \sqrt{f (x)} = \sqrt{L}$ .

* Giới hạn một bên

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(x_{0}; b)$ . Ta nói số L là giới hạn bên phải của $f (x)$ khi $x \to x_{0}$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì thỏa mãn $x_{0} < x_{n} < b$ và $x_{n} \to x_{0}$ , ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = L$ .

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; x_{0})$ . Ta nói số L là giới hạn bên trái của khi $x \to x_{0}$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì thỏa mãn $a < x_{n} < x_{0}$ và $x_{n} \to x_{0}$ , ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = L$ .

2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; + \infty)$ . Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn là số L khi $x \to + \infty$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì, $x_{n} > a$ và $x_{n} \to + \infty$ ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to + \infty} f (x) = L$ hay $f (x) \to L$ khi $x \to + \infty$ .

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(- \infty; b)$ . Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn là số L khi $x \to - \infty$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì, $x_{n} < b$ và $x_{n} \to - \infty$ ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to - \infty} f (x) = L$ hay $f (x) \to L$ khi $x \to - \infty$ .

* Nhận xét:

Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.

Với c là hằng số, $lim_{x \to + \infty} c = c$ , $lim_{x \to - \infty} c = c$ .

Với k là một số nguyên dương, ta có: $lim_{x \to + \infty} (\frac{1}{x^{k}}) = 0, lim_{x \to - \infty} (\frac{1}{x^{k}}) = 0$ .

3. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

a) Giới hạn vô cực

- Giả sử khoảng (a;b) chứa $x_{0}$ và hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; b) ∖ {x_{0}}$ . Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn là $+ \infty$ khi $x$ dần tới $x_{0}$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì, $(a; b) ∖ {x_{0}}$ và $x_{n} \to x_{0}$ , ta có $f (x_{n}) \to + \infty$ , kí hiệu $lim_{x \to x_{0}} f (x) = + \infty$ .

Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn $- \infty$ khi $x \to x_{0}$ , kí hiệu $lim_{x \to x_{0}} f (x) = - \infty$ , nếu $lim_{x \to x_{0}} [- f (x)] = + \infty$ .

- Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(x_{0}; b)$ . Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn $+ \infty$ khi $x \to x_{0}$ về bên phải nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì thỏa mãn $x_{0} < x_{n} < b$ và $x_{n} \to x_{0}$ ta có $f (x_{n}) \to + \infty$ , kí hiệu $lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = + \infty$ .

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; x_{0})$ . Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn $+ \infty$ khi $x \to x_{0}$ về bên trái nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì thỏa mãn $a < x_{n} < x_{0}$ và $x_{n} \to x_{0}$ ta có $f (x_{n}) \to + \infty$ , kí hiệu $lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = + \infty$ .

Các giới hạn một bên $lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = - \infty$ , $lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = - \infty$ được định nghĩa tương tự.

b) Một số quy tắc tính giới hạn vô cực

*Giới hạn của tích $lim_{x \to x_{0}} f (x) . g (x)$

*Giới hạn của thương $\frac{f (x)}{g (x)}$