Lý thuyết Giới hạn của hàm số

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm $x_{0}$ và hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng (a; b), có thể trừ điểm $x_{0}$ . Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn là số L khi $x$ dần tới $x_{0}$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì, $x_{n} \in (a; b)$ , $x_{n} \neq x_{0}$ và $x_{n} \to x_{0}$ , ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ hay $f (x) \to L$ , khi $x_{n} \to x_{0}$ .

* Quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm

a) Nếu $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ và $lim_{x \to x_{0}} g (x) = M$ thì

$lim_{x \to x_{0}} [f (x) \pm g (x)] = L \pm M$ ;

$lim_{x \to x_{0}} [f (x) . g (x)] = L . M$ ;

$lim_{x \to x_{0}} [\frac{f (x)}{g (x)}] = \frac{L}{M} (M \neq 0)$ .

b) Nếu $f (x) \geq 0$ với mọi $x \in (a; b) ∖ {x_{0}}$ và $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ thì $L \geq 0$ và $lim_{x \to x_{0}} \sqrt{f (x)} = \sqrt{L}$ .

* Giới hạn một bên

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(x_{0}; b)$ . Ta nói số L là giới hạn bên phải của $f (x)$ khi $x \to x_{0}$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì thỏa mãn $x_{0} < x_{n} < b$ và $x_{n} \to x_{0}$ , ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = L$ .

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; x_{0})$ . Ta nói số L là giới hạn bên trái của khi $x \to x_{0}$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì thỏa mãn $a < x_{n} < x_{0}$ và $x_{n} \to x_{0}$ , ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = L$ .

2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; + \infty)$ . Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn là số L khi $x \to + \infty$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì, $x_{n} > a$ và $x_{n} \to + \infty$ ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to + \infty} f (x) = L$ hay $f (x) \to L$ khi $x \to + \infty$ .

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(- \infty; b)$ . Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn là số L khi $x \to - \infty$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì, $x_{n} < b$ và $x_{n} \to - \infty$ ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to - \infty} f (x) = L$ hay $f (x) \to L$ khi $x \to - \infty$ .

* Nhận xét:

Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.

Với c là hằng số, $lim_{x \to + \infty} c = c$ , $lim_{x \to - \infty} c = c$ .

Với k là một số nguyên dương, ta có: $lim_{x \to + \infty} (\frac{1}{x^{k}}) = 0, lim_{x \to - \infty} (\frac{1}{x^{k}}) = 0$ .

3. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

a) Giới hạn vô cực

- Giả sử khoảng (a;b) chứa $x_{0}$ và hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; b) ∖ {x_{0}}$ . Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn là $+ \infty$ khi $x$ dần tới $x_{0}$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì, $(a; b) ∖ {x_{0}}$ và $x_{n} \to x_{0}$ , ta có $f (x_{n}) \to + \infty$ , kí hiệu $lim_{x \to x_{0}} f (x) = + \infty$ .

Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn $- \infty$ khi $x \to x_{0}$ , kí hiệu $lim_{x \to x_{0}} f (x) = - \infty$ , nếu $lim_{x \to x_{0}} [- f (x)] = + \infty$ .

- Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(x_{0}; b)$ . Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn $+ \infty$ khi $x \to x_{0}$ về bên phải nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì thỏa mãn $x_{0} < x_{n} < b$ và $x_{n} \to x_{0}$ ta có $f (x_{n}) \to + \infty$ , kí hiệu $lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = + \infty$ .

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; x_{0})$ . Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn $+ \infty$ khi $x \to x_{0}$ về bên trái nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì thỏa mãn $a < x_{n} < x_{0}$ và $x_{n} \to x_{0}$ ta có $f (x_{n}) \to + \infty$ , kí hiệu $lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = + \infty$ .

Các giới hạn một bên $lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = - \infty$ , $lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = - \infty$ được định nghĩa tương tự.

b) Một số quy tắc tính giới hạn vô cực

*Giới hạn của tích $lim_{x \to x_{0}} f (x) . g (x)$

*Giới hạn của thương $\frac{f (x)}{g (x)}$