Lý thuyết Góc ở tâm, cung và hình quạt tròn Toán 9 Cùng khám phá

1. Góc ở tâm và số đo cung

Góc ở tâm

Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm của đường tròn.

Số đo cung

Trong đường tròn: - Số đo của cung nhỏ là số đo của góc ở tâm chắn cung đó; - Số đo của cung lớn là hiệu giữa ${360}^0$ và số đo của cung nhỏ cùng đầu mút với nó. - Số đo của nửa đường tròn là ${180}^0$.

Lưu ý: Trong một đường tròn:

- Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ$\stackrel{⌢}{AB}$.

- Các cung có số đo bằng $n^0$ được gọi chung là cung $n^0$. Mỗi điểm trên đường tròn được xem là một cung $0^0$, cả đường tròn được xem là cung ${360}^0$.

- Tổng số đo hai cung có chung đầu mút là ${360}^0$.

- Nếu điểm M thuộc cung AB và chia cung AB thành hai cung AM, MB thì ta có sđ$\stackrel{⌢}{AB}$ = sđ$\stackrel{⌢}{AM}$ + sđ$\stackrel{⌢}{MB}$.

2. Độ dài cung

Công thức độ dài cung $n^0$ của đường tròn bán kính R: $l=\frac{\pi Rn}{180}$.

Ví dụ:

Đường tròn (O; 2cm), $\widehat{AOB}={60}^0$.

- Cung nhỏ AB bị chắn bởi góc ở tâm AOB.

Do đó sđ$\stackrel{⌢}{AB}=\widehat{AOB}={60}^0$.

Độ dài $l_1$ của cung AB là:

$l_1=\frac{n}{180}\pi R=\frac{60}{180}\pi .2=\frac{2\pi }{3}\approx 2,1\left(cm\right)$

Cung lớn AnB có số đo là:

sđ$\stackrel{⌢}{AmN}={360}^o-{60}^0={300}^0$.

Độ dài $l_2$ của cung AnB là:

$l_2=\frac{300}{180}\pi .2=\frac{10}{3}\pi \approx 10,5\left(cm\right)$

3. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Khái niệm hình quạt tròn

 

Hình quạt tròn là phần hình tròn bị giới hạn bởi một cung và hai bán kính đi qua các đầu mút của cung đó.

Diện tích hình quạt tròn

Nếu $S_q$ là phần diện tích của hình quạt tròn bán kính R ứng với cung có số đo $n^0$ thì:

$\frac{S_q}{\pi R^2}=\frac{n}{360}$.

Công thức diện tích hình quạt tròn bán kính R ứng với cung $n^o$: $S_q=\frac{\pi R^{2}n}{360}$

Ví dụ: Diện tích hình quạt tròn có độ dài tương ứng với nó là $l=4\pi$cm, bán kính là R = 5cm là:

$S_q=\frac{l.R}{2}=\frac{4\pi .5}{2}=10\pi \left(c{m}^2\right)$

Khái niệm hình vành khuyên

Hình vành khuyên là hình giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm có bán kính khác nhau.

Diện tích hình vành khuyên

Công thức diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn (O;R) và (O;r) (với r < R): $S_v=\pi \left(R^2-r^2\right)$.

Ví dụ:  Diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 3m và 5m là:

$S_v=\pi \left(5^2-3^2\right)=16\pi \left(m^2\right)$

Lưu ý: Từ công thức tính diện tích hình quạt tròn và độ dài cung $n^0$, bán kính R, ta có công thức liên hệ hai diện tích hình quạt ($S_q$) với độ dài cung ($l$) ứng với nó như sau:

$S_q=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi Rn}{180}.\frac{R}{2}=\frac{1}{2}lR$.