Lý thuyết Góc Toán 12 Cùng khám phá

1. Góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d’ tương ứng có vecto chỉ phương $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ , $\vec{a^{'}} = ({a_{1}}^{'}; {a_{2}}^{'}; {a_{3}}^{'})$ . Khi đó:

\cos (d, d^{'}) = \frac{| \vec{a} . \vec{a^{'}} |}{| \vec{a} | . | \vec{a^{'}} |} = \frac{| a_{1} {a_{1}}^{'} + a_{2} {a_{2}}^{'} + a_{3} {a_{3}}^{'} |}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2}} . \sqrt{a_{1}^{' 2} + a_{2}^{' 2} + a_{3}^{' 2}}}

Lưu ý:

+ $0^{o} \leq (d, d^{'}) \leq 90^{o}$ .

+ Nếu d//d’ hoặc d $\equiv$ d’ thì $(d, d^{'}) = 0^{o}$ .

+ $d ⊥ d^{'} \Leftrightarrow (d, d^{'}) = 90^{o}$ .

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng:

d: ${\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 3 - t \\ z = 2 t \end{cases}$ $(t \in R)$ và d’: ${\begin{cases} x = t^{'} \\ y = 1 + 2 t^{'} \\ z = 3 - t^{'} \end{cases}$ $(t^{'} \in R)$ .

Giải:

Đường thẳng d và d’ lần lượt có các vecto chỉ phương là $\vec{a} = (1; - 1; 2)$ và $\vec{a^{'}} = (1; 2; - 1)$ .

Ta có $\cos (d, d^{'}) = \frac{| \vec{a} . \vec{a^{'}} |}{| \vec{a} | . | \vec{a^{'}} |} = \frac{| 1.1 - 1.2 + 2. (- 1) |}{\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}} . \sqrt{1^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{| - 3 |}{6} = \frac{1}{2}$ .

Vậy $(d, d^{'}) = 60^{o}$ .

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có vecto chỉ phương $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ và mặt phẳng $(α)$ có vecto pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$ . Kí hiệu $(d, (α))$ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng $(α)$ . Khi đó:

\sin (d, (α)) = \frac{| \vec{n} . \vec{a} |}{| \vec{n} | . | \vec{a} |} = \frac{| a_{1} A + a_{2} B + a_{3} C |}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2}} . \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}

Lưu ý:

+ $0^{o} \leq (d, (α)) \leq 90^{o}$ .

+ Nếu $d / / (α)$ hoặc $d \subset (α)$ thì $(d, (α)) = 0^{o}$ .

+ $d ⊥ (α) \Leftrightarrow (d, (α)) = 90^{o}$ .

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng d: $\frac{x}{- 1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{- 1}$ và mặt phẳng $(α)$ : $x + y - 2 z + 1 = 0$ .

Giải:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\vec{a} = (- 1; 2; - 1)$ , mặt phẳng $(α)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; 1; - 2)$ .

Ta có: $\sin (d, (α)) = \frac{| \vec{n} . \vec{a} |}{| \vec{n} | . | \vec{a} |} = \frac{| (- 1) .1 + 2.1 (- 1) . (- 2) |}{\sqrt{{(- 1)}^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}} . \sqrt{1^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{1}{2}$ .

Vậy $(d, (α)) = 30^{o}$ .

3. Góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ tương ứng có các vecto pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$ , $\vec{n^{'}} = (A^{'}; B^{'}; C^{'})$ . Khi đó, góc giữa $(α)$ và $(β)$ , kí hiệu là $((α), (β))$ được tính theo công thức:

\cos ((α), (β)) = \frac{| \vec{n} . \vec{n^{'}} |}{| \vec{n} . \vec{n^{'}} |} = \frac{| A A^{'} + B B^{'} + C C^{'} |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}} . \sqrt{A^{' 2} + B^{' 2} + C^{' 2}}}

Lưu ý:

+ $0^{o} \leq ((α), (β)) \leq 90^{o}$ .

+ Nếu $(α)$ // $(β)$ hoặc $(α) \equiv (β)$ thì $((α), (β)) = 0^{o}$ .

+ $(α) ⊥ (β) \Leftrightarrow ((α), (β)) = 90^{o}$ .

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng: : $(α)$ $2 x + 2 y - 4 z + 1 = 0$ và $(β)$ : $x - z - 5 = 0$ .

Giải:

Mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ lần lượt có các vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (2; 2; - 4)$ và $\vec{n^{'}} = (1; 0; - 1)$ .

Ta có: $\cos ((α), (β)) = \frac{| \vec{n} . \vec{n^{'}} |}{| \vec{n} . \vec{n^{'}} |} = \frac{| 2.1 + 2.0 + (- 4) . (- 1) |}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + {(- 4)}^{2}} . \sqrt{1^{2} + 0^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Vậy $((α), (β)) = 30^{o}$ .