Lý thuyết Góc Toán 12 Cùng khám phá

1. Góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d’ tương ứng có vecto chỉ phương $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$, $\overrightarrow{a^{\prime }}=({a_1}^{\prime };{a_2}^{\prime };{a_3}^{\prime })$. Khi đó: $\cos (d,d^{\prime })=\frac{\left|\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a^{\prime }}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{a^{\prime }}\right|}=\frac{\left|a_1{a_1}^{\prime }+a_2{a_2}^{\prime }+a_3{a_3}^{\prime }\right|}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}.\sqrt{a_1{}^{\prime 2}+a_2{}^{\prime 2}+a_3{}^{\prime 2}}}$

Lưu ý:

+ $0^o\le (d,d^{\prime })\le {90}^o$.

+ Nếu d//d’ hoặc d$\equiv$d’ thì $(d,d^{\prime })=0^o$.

+ $d\perp d^{\prime }\iff (d,d^{\prime })={90}^o$.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng:

d: $\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=3-t\\ z=2t\end{array}$ $(t\in R)$ và d’: $\{\begin{array}{c}x=t^{\prime }\\ y=1+2t^{\prime }\\ z=3-t^{\prime }\end{array}$ $(t^{\prime }\in R)$.

Giải:

Đường thẳng d và d’ lần lượt có các vecto chỉ phương là $\overrightarrow{a}=(1;-1;2)$ và $\overrightarrow{a^{\prime }}=(1;2;-1)$.

Ta có $\cos (d,d^{\prime })=\frac{\left|\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a^{\prime }}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{a^{\prime }}\right|}=\frac{\left|1.1-1.2+2.(-1)\right|}{\sqrt{1^2+{(-1)}^2+2^2}.\sqrt{1^2+2^2+{(-1)}^2}}=\frac{\left|-3\right|}{6}=\frac{1}{2}$.

Vậy $(d,d^{\prime })={60}^o$.

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có vecto chỉ phương $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$. Kí hiệu $\left(d,\left(\alpha \right)\right)$ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$. Khi đó: $\sin (d,(\alpha \left)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{a}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|.\left|\overrightarrow{a}\right|}=\frac{\left|a_{1}A+a_{2}B+a_{3}C\right|}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}.\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

Lưu ý:

+ $0^o\le (d,(\alpha \left)\right)\le {90}^o$.

+ Nếu $d//\left(\alpha \right)$ hoặc $d\subset \left(\alpha \right)$ thì $(d,(\alpha \left)\right)=0^o$.

+ $d\perp \left(\alpha \right)\iff (d,(\alpha \left)\right)={90}^o$.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng d: $\frac{x}{-1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1}$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$: $x+y-2z+1=0$.

Giải:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=(-1;2;-1)$, mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;1;-2\right)$.

Ta có: $\sin (d,(\alpha \left)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{a}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|.\left|\overrightarrow{a}\right|}=\frac{\left|(-1).1+2.1(-1).(-2)\right|}{\sqrt{{(-1)}^2+2^2+{(-1)}^2}.\sqrt{1^2+1^2+{(-2)}^2}}=\frac{1}{2}$.

Vậy $(d,(\alpha \left)\right)={30}^o$.

3. Góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ tương ứng có các vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$, $\overrightarrow{n^{\prime }}=(A^{\prime };B^{\prime };C^{\prime })$. Khi đó, góc giữa $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$, kí hiệu là $\left(\left(\alpha \right),\left(\beta \right)\right)$ được tính theo công thức: $\cos \left(\right(\alpha ),(\beta \left)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n^{\prime }}\right|}{\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n^{\prime }}\right|}=\frac{\left|A{A}^{\prime }+B{B}^{\prime }+C{C}^{\prime }\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}.\sqrt{A{}^{\prime 2}+B{}^{\prime 2}+C{}^{\prime 2}}}$.

Lưu ý:

+ $0^o\le \left(\left(\alpha \right),\left(\beta \right)\right)\le {90}^o$.

+ Nếu $\left(\alpha \right)$//$\left(\beta \right)$ hoặc $\left(\alpha \right)\equiv \left(\beta \right)$ thì $\left(\left(\alpha \right),\left(\beta \right)\right)=0^o$.

+ $\left(\alpha \right)\perp \left(\beta \right)\iff \left(\left(\alpha \right),\left(\beta \right)\right)={90}^o$.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng: :$\left(\alpha \right)$ $2x+2y-4z+1=0$ và $\left(\beta \right)$: $x-z-5=0$.

Giải:

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ lần lượt có các vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(2;2;-4)$ và $\overrightarrow{n^{\prime }}=(1;0;-1)$.

Ta có: $\cos \left(\right(\alpha ),(\beta \left)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n^{\prime }}\right|}{\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n^{\prime }}\right|}=\frac{\left|2.1+2.0+(-4).(-1)\right|}{\sqrt{2^2+2^2+{(-4)}^2}.\sqrt{1^2+0^2+{(-1)}^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Vậy $\left(\left(\alpha \right),\left(\beta \right)\right)={30}^o$.