Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc

A. Lý thuyết

1. Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng a, b là góc giữa hai đường thẳng a’, b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a, b, kí hiệu (a,b).

Nhận xét:

+ $0^o<(a,b)<{90}^o$.

+ Nếu a, b song song hoặc trùng nhau thì $(a,b)=0^o$.

2. Hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng ${90}^o$.

Lưu ý:

- Khi hai đường thẳng a, b vuông góc với nhau thì ta kí hiệu $a\perp b$.

- Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với nhau thì hoặc cắt nhau, hoặc chéo nhau.

 

B. Bài tập

Bài 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ABCD là hình vuông. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) A’B’ và BC.

b) A’D’ và BD.

c) B’C’ và AD.

Giải:

a) Ta có A’B’ // AB, suy ra (A’B’, BC) = (AB, BC).

Mà ABCD là hình vuông nên $\widehat{ABC}={90}^o$. Vậy $(A^{\prime }{B}^{\prime },BC)={90}^o$.

b) Ta có A’D’ // AD, suy ra (A’D’, BD) = (AB, BD).

Mà ABCD là hình vuông nên $\widehat{ADB}={45}^o$. Vậy $(A^{\prime }{D}^{\prime },BD)={45}^o$.

c) Ta có B’C’ // BC và BC // AD nên B’C’ // AD. Vậy $(B^{\prime }{C}^{\prime },AD)=0^o$.

Bài 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F, M, K lần lượt là trung điểm của AB, CD, AC và AD. Chứng minh rằng $EF\perp MK$.

Giải:

 

Ta có M và K lần lượt là trung điểm của AC và AD, do đó MK // CD.

Suy ra, góc giữa EF và MN bằng góc giữa EF và CD.

Do ABCD là tứ diện đều cạnh a nên các tam giác ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a.

CE và DE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của các tam giác đều cạnh a. Ta tính được $CE=DE=\frac{\sqrt{3}}{2}a$. Vậy tam giác CED cân tại E.

Do F là trung điểm cạnh đáy CD của tam giác cân CED nên $EF\perp CD$.

Suy ra $(EF,MK)=(EF,CD)={90}^o$.

Vậy $EF\perp MK$.