Lý thuyết Hàm số bậc hai

1. Hàm số bậc hai

+ Định nghĩa:

Hàm số bậc hai biến x là hàm số cho bởi công thức dạng $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ với $a, b, c \in R; a \neq 0$ .

+ Tập xác định: $R$ .

2. Đồ thị hàm số bậc hai

+) Đồ thị hàm số bậc hai $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ $(a \neq 0)$ là một parabol (P):

- Đỉnh $S (- \frac{b}{2 a}; - \frac{Δ}{4 a})$ .

- Trục đối xứng: đường thẳng $x = - \frac{b}{2 a}$ .

- Bề lõm: quay lên trên nếu $a > 0$ , quay xuống dưới nếu $a < 0$ .

- Cắt Oy tại điểm $(0; c)$ .

* Chú ý: Nếu PT $a x^{2} + b x + c = 0$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thì đồ thị hàm số $y = a x^{2} + b x + c$ cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 2 nghiệm này.

+) Vẽ đồ thị

1) Xác định đỉnh $S (- \frac{b}{2 a}; - \frac{Δ}{4 a})$ .

2) Vẽ trục đối xứng d: $x = - \frac{b}{2 a}$ .

3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung (A(0;c)), trục hoành (nếu có).

Xác định $B (\frac{- b}{a}; c)$ (là điểm đối xứng với A qua d).

4) Vẽ parabol đỉnh S, trục đối xứng d, đi qua các điểm tìm được.

3. Sự biến thiên của hàm số bậc hai

+) Bảng biến thiên

+) Kết luận:

	$a > 0$	$a < 0$
Trên khoảng $(- \infty; \frac{- b}{2 a})$	Hàm số nghịch biến	Hàm số đồng biến
Trên khoảng $(\frac{- b}{2 a}; + \infty)$	Hàm số đồng biến	Hàm số nghịch biến
GTLN hoặc GTNN	Đạt GTNN bằng $\frac{- Δ}{4 a}$ tại $x = \frac{- b}{2 a}$	Đạt GTLN bằng $\frac{- Δ}{4 a}$ tại $x = \frac{- b}{2 a}$
Tập giá trị	$T = [\frac{- Δ}{4 a}; + \infty)$	$T = (- \infty; \frac{- Δ}{4 a}]$

4. Ứng dụng của hàm số bậc hai

+) Tầm bay cao và tầm bay xa

Chọn điểm $(0; y_{0})$ là điểm xuất phát thì phương trình quỹ đạo của cầu lông khi rời mặt vợt là:

$y = \frac{- g . x^{2}}{2. {v_{0}}^{2} . \cos^{2} α} + \tan α . x + y_{0}$

Trong đó:

$g$ là giá tốc trọng trường ( $\approx 9, 8 m / s^{2}$ );

$α$ là góc phát cầu (so với phương ngang của mặt đất);

$v_{0}$ là vận tốc ban đầu của cầu;

$y_{0}$ là khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất;

Quỹ đạo chuyển động của cầu lông là một parabol.

- Vị trí cao nhất tại đỉnh parabol, gọi là tầm bay cao;

- Khoảng cách từ nơi đứng phát cầu đến điểm cham đất, gọi là tầm bay xa.

+) Bài toán ứng dụng

Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, nếu nó ở bên trên mặt lưới và điểm rơi không ra khỏi đường biến phía sân đối phương thì lần phát cầu được xem là hợp lệ.