Lý thuyết Hàm số bậc hai

A. Lý thuyết 1. Khái niệm hàm số bậc hai

A. Lý thuyết

1. Khái niệm hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức $y = a x^{2} + b x + c$ , trong đó x là biến số, a, b, c là các hằng số và $a \neq 0$ .

Tập xác định của hàm số bậc hai là

R

Nhận xét: Hàm số $y = a x^{2}$ $(a \neq 0)$ đã học ở lớp 9 là một trường hợp đặc biệt của hàm số bậc hai với b = c = 0.

2. Đồ thị của hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai $y = a x^{2} + b x + c$ $(a \neq 0)$ có đồ thị là một đường parabol có đỉnh là điểm $I (- \frac{b}{2 a}; - \frac{Δ}{4 a})$ , có trục đối xứng là đường thẳng $x = - \frac{b}{2 a}$ . Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0, xuống dưới nếu a < 0.

Để vẽ đường parabol $y = a x^{2} + b x + c$ ta tiến hành theo các bước sau:

1. Xác định tọa độ đỉnh $I (- \frac{b}{2 a}; - \frac{Δ}{4 a})$ .

2. Xác định trục đối xứng $x = - \frac{b}{2 a}$ .

3. Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung, trục hoành (nếu có) và một vài điểm đặc biệt trên parabol.

4. Vẽ parabol.

Nhận xét: Từ đồ thị hàm số $y = a x^{2} + b x + c$ $(a \neq 0)$ , ta suy ra tính chất của hàm số $y = a x^{2} + b x + c$ $(a \neq 0)$ :

B. Bài tập

Bài 1: Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc hai?

A. $y = x^{2} + 3 x^{2} + 2$

B. $y = \frac{1}{x^{2}}$

C. $y = - 3 x^{2} + 1$

D. $y = 3 {(\frac{1}{x})}^{2} - 3 \frac{1}{x} - 1$

Giải:

Hàm số $y = - 3 x^{2} + 1$ là hàm số bậc hai với a = -3, b = 0, c = 1. Hàm số thỏa mãn điều kiện $a \neq 0$ $(- 3 \neq 0)$ và có tập xác định là $R$ .

Bài 2:

a) Vẽ parabol $y = - 2 x^{2} - 2 x + 4$ .

b) Từ đồ thị, hãy tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị lớn nhất của hàm số $y = - 2 x^{2} - 2 x + 4$ .

Giải:

a) Ta có a = -2 < 0 nên parabol quay bề lõm xuống dưới.

Đỉnh $I (- \frac{1}{2}; \frac{9}{2})$ . Trục đối xứng $x = - \frac{1}{2}$ . Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0;4). Parabol cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình $- 2 x^{2} - 2 x + 4 = 0$ , tức là x = 1 và x = -2.

Để vẽ đồ thị chính xác hơn, ta có thể lấy thêm điểm đối xứng vói A qua trục đối xứng $x = - \frac{1}{2}$ là B(-1;4).

b) Từ đồ thị ta thấy:

Hàm số $y = - 2 x^{2} - 2 x + 4$ đồng biến trên $(- \infty; - \frac{1}{2})$ , nghịch biến trên $(- \frac{1}{2}; + \infty)$ .

Giá trị lớn nhất của hàm số là $y = \frac{9}{2}$ khi $x = - \frac{1}{2}$ .