Lý thuyết Hàm số bậc hai

A. Lý thuyết

1. Khái niệm hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức $y=a{x}^2+bx+c$, trong đó x là biến số, a, b, c là các hằng số và $a\ne 0$. Tập xác định của hàm số bậc hai là $R$.

Nhận xét: Hàm số $y=a{x}^2$ $(a\ne 0)$ đã học ở lớp 9 là một trường hợp đặc biệt của hàm số bậc hai với b = c = 0.

2. Đồ thị của hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai $y=a{x}^2+bx+c$ $(a\ne 0)$ có đồ thị là một đường parabol có đỉnh là điểm $I\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$, có trục đối xứng là đường thẳng $x=-\frac{b}{2a}$. Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0, xuống dưới nếu a < 0. Để vẽ đường parabol $y=a{x}^2+bx+c$ ta tiến hành theo các bước sau: 1. Xác định tọa độ đỉnh $I\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$. 2. Xác định trục đối xứng $x=-\frac{b}{2a}$. 3. Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung, trục hoành (nếu có) và một vài điểm đặc biệt trên parabol. 4. Vẽ parabol.

Nhận xét: Từ đồ thị hàm số $y=a{x}^2+bx+c$ $(a\ne 0)$, ta suy ra tính chất của hàm số $y=a{x}^2+bx+c$ $(a\ne 0)$:

B. Bài tập

Bài 1: Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc hai?

A. $y=x^2+3x^2+2$

B. $y=\frac{1}{x^2}$

C. $y=-3x^2+1$

D. $y=3{\left(\frac{1}{x}\right)}^2-3\frac{1}{x}-1$

Giải:

Hàm số $y=-3x^2+1$ là hàm số bậc hai với a = -3, b = 0, c = 1. Hàm số thỏa mãn điều kiện $a\ne 0$ $(-3\ne 0)$ và có tập xác định là $R$.

Bài 2:

a) Vẽ parabol $y=-2x^2-2x+4$.

b) Từ đồ thị, hãy tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị lớn nhất của hàm số $y=-2x^2-2x+4$.

Giải:

a) Ta có a = -2 < 0 nên parabol quay bề lõm xuống dưới.

Đỉnh $I\left(-\frac{1}{2};\frac{9}{2}\right)$. Trục đối xứng $x=-\frac{1}{2}$. Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0;4). Parabol cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình $-2x^2-2x+4=0$, tức là x = 1 và x = -2.

Để vẽ đồ thị chính xác hơn, ta có thể lấy thêm điểm đối xứng vói A qua trục đối xứng $x=-\frac{1}{2}$ là B(-1;4).

b) Từ đồ thị ta thấy:

Hàm số $y=-2x^2-2x+4$ đồng biến trên $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$, nghịch biến trên $\left(-\frac{1}{2};+\infty \right)$.

Giá trị lớn nhất của hàm số là $y=\frac{9}{2}$ khi $x=-\frac{1}{2}$.