Lý thuyết Hàm số liên tục

I. Khái niệm

1. Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(a;b\right)$, $x_0\in \left(a;b\right)$. Hàm số $f\left(x\right)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$ nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$.

Hàm số không liên tục tại $x_0$ được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn

- Hàm số $y=f\left(x\right)$ được gọi là liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ nếu hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

- Hàm số $y=f\left(x\right)$ được gọi là liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$ nếu hàm số liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ và $\underset{x\to a^{+}}{lim}f\left(x\right)=f\left(a\right),\underset{x\to b^{-}}{lim}f\left(x\right)=f\left(b\right)$.

* Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là “đường liền” trên khoảng đó.

II. Một số định lí cơ bản

1. Tính liên tục của hàm sơ cấp cơ bản

- Hàm số đa thức và hàm số $y=\sin x$, $y=\cos x$ liên tục trên $R$.

- Các hàm số $y=\tan x$, $y=\cot x$, $y=\sqrt{x}$ và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

2. Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục

Giả sử hai hàm số $y=f\left(x\right)$ và $y=g\left(x\right)$ liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó:

a) Các hàm số $y=f\left(x\right)\pm g\left(x\right)$ và $y=f\left(x\right).g\left(x\right)$ liên tục tại điểm $x_0$.

b) Hàm số $y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ liên tục tại điểm $x_0$ nếu $g\left(x_0\right)\ne 0$.