Lý thuyết Hàm số liên tục

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

 Cho hàm $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng K, $x_0\in K$. Hàm số $f\left(x\right)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$ nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$.

Hàm số không liên tục tại $x_0$ được gọi là gián đoạn tại điểm $x_0$, và $x_0$ được gọi là điểm gián đoạn của hàm số.

* Nhận xét: Để hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục tại $x_0$ thì phải có cả 3 điều sau:

• Hàm số xác định tại $x_0$.
• Tồn tại $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$.
• $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

- Hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(a;b\right)$.

Hàm số $y=f\left(x\right)$ được gọi là liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

- Hàm số $y=f\left(x\right)$ được gọi là liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$ nếu nó liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ và $\underset{x\to a^{+}}{lim}f\left(x\right)=f\left(a\right),\underset{x\to b^{-}}{lim}f\left(x\right)=f\left(b\right)$.

* Nhận xét:

- Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn là “đường liền” trên khoảng, đoạn đó.

- Nếu hàm số$y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$ và $f\left(a\right).f\left(b\right)<0$ thì phương trình $f\left(x\right)=0$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $\left(a;b\right)$.

3. Tính liên tục của hàm sơ cấp cơ bản

- Hàm số đa thức và hàm số $y=\sin x$, $y=\cos x$ liên tục trên $R$.

- Các hàm số $y=\tan x$, $y=\cot x$, $y=\sqrt{x}$ và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

2. Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục

Giả sử hai hàm số $y=f\left(x\right)$ và $y=g\left(x\right)$ liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó:

a) Các hàm số $y=f\left(x\right)\pm g\left(x\right)$ và $y=f\left(x\right).g\left(x\right)$ liên tục tại điểm $x_0$.

b) Hàm số $y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ liên tục tại điểm $x_0$ nếu $g\left(x_0\right)\ne 0$.