Lý thuyết Hàm số liên tục

I. Hàm số liên tục tại một điểm và liên tục trên một khoảng

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

 Cho hàm $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng K, $x_0\in K$. Hàm số $f\left(x\right)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$ nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$.

 Hàm số không liên tục tại $x_0$ được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

- Hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(a;b\right)$

  Hàm số $y=f\left(x\right)$ được gọi là liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

- Hàm số $y=f\left(x\right)$ được gọi là liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$ nếu nó liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ và $\underset{x\to a^{+}}{lim}f\left(x\right)=f\left(a\right),\underset{x\to b^{-}}{lim}f\left(x\right)=f\left(b\right)$.

* Nhận xét:

- Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn là “đường liền” trên khoảng, đoạn  đó.

- Nếu hàm số$y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$ và $f\left(a\right).f\left(b\right)<0$thì phương trình $f\left(x\right)=0$có ít nhất một nghiệm trên khoảng $\left(a;b\right)$.

II. Một số định lí cơ bản

1. Định lí 1

- Hàm số đa thức và hàm số $y=sinx,y=cosx$liên tục trên $R$.

- Các hàm số $y=\tan x,y=cotx,y=\sqrt{x}$ và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

2. Định lí 2

Giả sử hai hàm số $y=f\left(x\right)$ và $y=g\left(x\right)$ liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó:

a, Các hàm số $y=f\left(x\right)\pm g\left(x\right)$ và $y=f\left(x\right).g\left(x\right)$ liên tục tại điểm $x_0$.

b, Hàm số $y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ liên tục tại điểm $x_0$ nếu $g\left(x_0\right)\ne 0$.

c, Hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên khoảng K và $f\left(x\right)\ge 0,\forall x\in K$. Khi đó hàm số $y=\sqrt{f\left(x\right)}$ liên tục trên K.