Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị

I. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.

- Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu $\forall x\in D$ thì $-x\in D$ và $f(-x)=f\left(x\right)$.

- Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu $\forall x\in D$ thì $-x\in D$ và $f(-x)=-f\left(x\right)$.

* Lưu ý:

• Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung (Oy) làm trục đối xứng.
• Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

2. Hàm số tuần hoàn

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T $\ne$ 0 sao cho với mọi $x\in D$ ta có $x\pm T\in D$ và $f(x+T)=f\left(x\right)$.

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn cách điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

* Nhận xét:

Các hàm số y = sinx, y = cosx tuần hoàn chu kì 2$\pi$.

Các hàm số y = tanx, y = cotx tuần hoàn chu kì $\pi$.

II. Hàm số lượng giác

1. Định nghĩa các hàm số lượng giác

• Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu y = sinx. Tập xác định của hàm số sin là $R$.
• Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx được gọi là hàm số cos, kí hiệu y = cosx. Tập xác định của hàm số côsin là $R$.
• Hàm số cho bằng công thức $y=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là $R\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in Z\right\}$.
• Hàm số cho bằng công thức $y=\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ được gọi là hàm số côtang, kí hiệu là y = cotx. Tập xác định của hàm số côtang là $R\setminus \left\{k\pi |k\in Z\right\}$.

2. Đồ thị của các hàm số lượng giác

a) Hàm số y =  sinx

• Tập xác định là $R$.
• Tập giá trị là [-1;1].
• Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì 2$\pi$.
• Đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{3\pi }{2}+k2\pi \right)$.
• Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.

b) Hàm số y =  cosx

• Tập xác định là $R$.
• Tập giá trị là [-1;1].
• Là hàm số chẵn và tuần hoàn chu kì 2$\pi$.
• Đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\pi +k2\pi ;k2\pi \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(k2\pi ;\pi +k2\pi \right)$.
• Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

c) Hàm số y =  tanx

• Tập xác định là $R\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in Z\right\}$.
• Tập giá trị là $R$.
• Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì $\pi$.
• Đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$, $k\in Z$.
• Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

d) Hàm số y =  cotx

• Tập xác định là $R\setminus \left\{k\pi |k\in Z\right\}$.
• Tập giá trị là $R$.
• Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì $\pi$.
• Đồng biến trên mỗi khoảng $\left(k\pi ;\pi +k\pi \right)$, $k\in Z$.
• Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.