Lý thuyết Hàm số mũ và hàm số logarit

A. Lý thuyết

1. Hàm số mũ

a) Định nghĩa

Cho a là một số thực dương và khác 1. Hàm số $y=a^x$ được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Lưu ý:

- Hàm số $y=a^x$ $(a>0,a\ne 1)$ có tập xác định là $R$ và tập giá trị là $(0;+\infty )$.

- Hàm số $y=a^x$ liên tục trên $R$.

- Với a = 1 thì $1^x=1$ với mọi $x\in R$.

b) Đồ thị của hàm số $y=a^x$ $(a>0,a\ne 1)$

Hàm số mũ $y=a^x$ $(a>0,a\ne 1)$ có tập xác định là $R$ và tập giá trị là $(0;+\infty )$. Hàm số $y=a^x$ đồng biến trên $R$ khi a > 1 và nghịch biến trên $R$ khi 0 < a < 1. Với a > 1 thì $\underset{x\to -\infty }{lim}{a}^x=0$; $\underset{x\to +\infty }{lim}{a}^x=+\infty$. Với 0 < a < 1 thì $\underset{x\to -\infty }{lim}{a}^x=+\infty$; $\underset{x\to +\infty }{lim}{a}^x=0$. Đồ thị (C) của hàm số $y=a^x$ luôn nằm phía trên trục hoành, luôn đi qua các điểm (0;1) và (1;a).

2. Hàm số logarit

a) Định nghĩa

Cho số thực dương a khác 1. Hàm số $y={\log }_{a}x$ được gọi là hàm số logarit cơ số a.

Lưu ý:

- Hàm số $y={\log }_{a}x$ có tập xác định là $D=(0;+\infty )$ và tập giá trị là $R$.

- Hàm số $y={\log }_{a}x$ liên tục trên khoảng $D=(0;+\infty )$.

- Hàm số $y={\log }_a\left(u\right(x\left)\right)$ $(a>0,a\ne 1)$ xác định khi và chỉ khi u(x) xác định và u(x) > 0.

b) Đồ thị của hàm số logarit $y={\log }_a\left(u\right(x\left)\right)$ $(a>0,a\ne 1)$

Hàm số logarit $y={\log }_{a}x$ $(a>0,a\ne 1)$ có tập xác định là $(0;+\infty )$ và tập giá trị là $R$. Hàm số $y={\log }_{a}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ khi a > 1 và nghịch biến trên $(0;+\infty )$ khi 0 < a < 1. Với a > 1 thì $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\left({\log }_{a}x\right)=-\infty$; $\underset{x\to +\infty }{lim}\left({\log }_{a}x\right)=+\infty$. Với 0 < a < 1 thì $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\left({\log }_{a}x\right)=+\infty$; $\underset{x\to +\infty }{lim}\left({\log }_{a}x\right)=-\infty$. Đồ thị (C) của hàm số $y={\log }_{a}x$ luôn nằm phía bên phải trục tung, luôn đi qua các điểm (1;0) và (a;1).

B. Bài tập

Bài 1: Hàm số nào sau đây là hàm số mũ? Tìm cơ số của hàm số mũ đó.

a) $y=2^x$.

b) $y=(\sqrt{2}-1{)}^x$.

c) $y=e^x$.

d) $y=x^e$.

Giải:

a) Hàm số $y=2^x$ là hàm số mũ với cơ số bằng 2.

b) Hàm số $y=(\sqrt{2}-1{)}^x$ là hàm số mũ với cơ số bằng $\sqrt{2}-1$.

c) Hàm số $y=e^x$ là hàm số mũ với cơ số bằng e.

d) Hàm số $y=x^e$ không phải là hàm số mũ vì cơ số không phải hằng số.

Bài 2: Tìm hàm số mũ $f\left(x\right)=a^x$ mà dồ thị của nó được cho bên dưới:

a)

b)

Giải:

a) Vì $f\left(x\right)=a^2=16$ nên a = 4. Do đó $f\left(x\right)=4^x$.

b) Vì $f\left(x\right)=a^2=\frac{1}{4}$ nên $a=\frac{1}{2}$. Do đó $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$.

Bài 3: Xác định cơ số của các hàm số logarit sau:

a) $y={\log }_{3}x$.

b) $y=\ln x$.

c) $y=\log x$.

Giải:

a) Hàm số $y={\log }_{3}x$ có cơ số bằng 3.

b) Hàm số $y=\ln x$ có cơ số bằng e.

c) Hàm số $y=\log x$ có cơ số bằng 10.

Bài 4: Tìm hàm số logarit $f\left(x\right)={\log }_{a}x$ mà đồ thị của nó được cho bên dưới:

a)

b)

Giải:

a) Vì f(5) = 1 nên ${\log }_{a}5=1\iff a=5$. Do đó $f\left(x\right)={\log }_{5}x$.

b) Vì f(3) = -1 nên ${\log }_{a}3=-1\iff a=\frac{1}{3}$. Do đó $f\left(x\right)={\log }_{\frac{1}{3}}x$.