Lý thuyết Hàm số

A. Lý thuyết

1. Khái niệm hàm số

Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập hợp số D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập số thực ℝ thì ta có một hàm số. Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x. Tập hợp D gọi là tập xác định của hàm số. Tập hợp tất cả các giá trị y nhận được, gọi là tập giá trị của hàm số.

Khi y là hàm số của x, ta có thể viết y = f(x), y = g(x),…

Chú ý: Khi cho hàm số bằng công thức y = f(x) mà không chỉ rõ tập xác định của nó thì ta quy ước tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.

Nhận xét: Một hàm số có thể được cho bằng bảng, bằng biểu đồ, bằng công thức hoặc mô tả bằng lời.

2. Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M(x; f(x)) trên mặt phẳng tọa độ đối với mọi x thuộc D.

3. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b), nếu $\forall x_1,x_2\in (a;b)$, $x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$. Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b), nếu $\forall x_1,x_2\in (a;b)$, $x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Chú ý:

- Đồ thị của một hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) là đường “đi lên” từ trái sang phải.

- Đồ thị của một hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b) là đường “đi xuống” từ trái sang phải.

 

B. Bài tập

Bài 1 (ví dụ): Bảng dưới đây cho biết nồng độ bụi PM 2.5 trong không khí theo thời gian trong ngày 25-3-2021 tại một trạm quan trắc ở Thủ đô Hà Nội:

Nếu gọi x là thời điểm, y là nồng độ bụi PM 2.5 thì x là biến số và y là hàm số của x. Đó là hàm số được cho bằng bảng.
Tập xác định của hàm số là D = {0; 4; 8; 12; 16}.
Tập giá trị của hàm số là {74,27; 64,58; 57,9; 69,07; 81,78}.

Bài 2: Viết hàm số mô tả sự phụ thuộc của quãng đường đi được vào thời gian của một vật chuyển động thẳng đều với vận tốc 2 m/s. Tìm tập xác định của hàm số đó. Tính quãng đường vật đi được sau 5 s, 10 s.

Giải:

Một vật chuyển động thẳng đều với vận tốc v = 2 m/s thì quãng đường đi được S phụ thuộc vào thời gian t (giây) theo công thức S = 2t, trong đó t là biến số, S là hàm số của t.
Tập xác định của hàm số là D = [0; +∞).
Quãng đường vật đi được sau 5 s: $S_1=S\left(5\right)=2.5=10$ (m).
Quãng đường vật đi được sau 10 s: $S_2=S\left(10\right)=2.10=20$ (m).

Bài 3: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{2x-4}$.

b) $y=\frac{1}{x-1}$.

Giải:

a) Biểu thức $\sqrt{2x-4}$ có nghĩa khi $2x-4\ge 0$, tức là khi $x\ge 2$.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D=[2;+\infty )$.

b) Biểu thức $\frac{1}{x-1}$ có nghĩa khi $x-1\ne 0$, tức là khi $x\ne 1$.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D=R\setminus \left\{1\right\}$.

Bài 4:

a) Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{1}{8}{x}^2$ xác định trên D = [-3;5] có đồ thị (C) như hình.

- Điểm A(4; f(4)) có thuộc đồ thị (C) không?

- Lấy điểm B tùy ý trên đồ thị (C). Nêu nhận xét về hoành độ của điểm B.

b) Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) được cho bởi bảng sau:

Giải:

a) Vì $4\in [-3;5]$ nên điểm A có hoành độ bằng 4 và tung độ $y=\frac{1}{8}{.4}^2=2$ là điểm thuộc đồ thị (C).

Khi lấy điểm B tùy ý trên đồ thị (C) thì hoành độ

$x_B$ của điểm này thuộc tập xác định D, nghĩa là $-3\le x_B\le 5$.

b) Đồ thị hàm số gồm 7 điểm như hình:

Bài 5: Hàm số $y=x^2$ đồng biến hay nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;0)$ và $(0;+\infty )$?

Giải:

Vẽ đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=x^2$ như hình:

- Trên khoảng $(-\infty ;0)$, đồ thị “đi xuống” từ trái sang phải và với $x_1,x_2\in (-\infty ;0)$, $x_1<x_2$ thì $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Như vậy, hàm số $y=x^2$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;0)$.

- Trên khoảng $(0;+\infty )$, đồ thị “đi lên” từ trái sang phải và với $x_3,x_4\in (0;+\infty )$, $x_3<x_4$ thì $f\left(x_3\right)<f\left(x_4\right)$.

Như vậy, hàm số $y=x^2$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$.