Lý thuyết Hệ thức lượng trong tam giác

A. LÝ THUYẾT

Nhắc lại hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Cho tam giác $A B C$ vuông góc tại đỉnh $A$ $(\hat{A} = 90^{o})$ , ta có:

1. $b^{2} = a b^{'}$ ; $c^{2} = a . c^{'}$ .

2. Định lý Pitago : $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ .

3. $a . h = b . c$ .

4. $h^{2} = b^{'} . c^{'}$ .

5. $\frac{1}{h^{2}}$ = $\frac{1}{b^{2}}$ + $\frac{1}{c^{2}}$ .

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với $c o s i n$ của góc xen giữa chúng.

Ta có các hệ thức sau:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos A$

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c . \cos B$

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b . \cos C$

Hệ quả của định lí cosin:

$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$

$\cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}$

$\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}$

Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác $A B C$ có các cạnh $B C = a, C A = b$ và $A B = c$ . Gọi $m_{a}, m_{b}$ và $m_{c}$ là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh $A, B, C$ của tam giác. Ta có

${m_{a}}^{2}$ = $\frac{2. (b^{2} + c^{2}) - a^{2}}{4}$

${m_{b}}^{2}$ = $\frac{2. (a^{2} + c^{2}) - b^{2}}{4}$

${m_{c}}^{2}$ = $\frac{2. (a^{2} + b^{2}) - c^{2}}{4}$

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác $A B C$ bất kỳ, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa là

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R$

với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Giải tam giác: Giải tam giác là đi tìm các yếu tố (góc, cạnh) chưa biết của tam giác khi đã biết một số yếu tố của tam giác đó.

Muốn giải tam giác ta cần tìm mối liên hệ giữa các góc, cạnh đã cho với các góc, các cạnh chưa biết của tam giác thông qua các hệ thức đã được nêu trong định lí cosin, định lí sin và các công thức tính diện tích tam giác.

Các bài toán về giải tam giác: Có 3 bài toán cơ bản về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc.

=> Dùng định lí sin để tính cạnh còn lại.

b) Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa.

=> Dùng định lí cosin để tính cạnh thứ ba.

Sau đó dùng hệ quả của định lí cosin để tính góc.

c) Giải tam giác khi biết ba cạnh.

Đối với bài toán này ta sử dụng hệ quả của định lí cosin để tính góc:

$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$

$\cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}$

$c o s C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}$

Chú ý:

1. Cần lưu ý là một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2)

2. Việc giải tam giác được sử dụng vào các bài toán thực tế, nhất là các bài toán đo đạc.

4. Công thức tính diện tích tam giác

Diện tích $S$ của tam giác $A B C$ được tính theo một trong các công thức sau

$S = \frac{1}{2} a b \sin C = \frac{1}{2} b c \sin A = \frac{1}{2} c a \sin B$

$S = \frac{a b c}{4 R}$

$S = pr\$

$S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ (công thức Heron)

Trong đó: $B C = a, C A = b$ và $A B = c$ ; $R, r$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp, bk đường tròn nội tiếp và $S$ là diện tích tam giác đó.

B. BÀI TẬP

Bài 1: Cho tam giác ABC có:

a) AB = 15, AC = 35, $\hat{A} = 60^{o}$ . Tính cạnh BC.

Giải:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B . A C \cos A = 15^{2} + 35^{2} - 2.15.35. \cos 60^{o} = 925$ .

Do đó $B C = \sqrt{925} \approx 30, 4$ .

b) AB = 6, AC = 10, BC = 14. Tính góc A.

Giải:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

$\cos A = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2 A B . A C} = \frac{6^{2} + 10^{2} - 14^{2}}{2.6.10} = - 0, 5$ .

Do đó $\hat{A} = 120^{o}$ .

c) BC = 100, $\hat{B} = 60^{o}$ , $\hat{C} = 40^{o}$ . Tính góc A và các cạnh AB, AC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Giải:

Ta có $\hat{A} = 180^{o} - (\hat{B} + \hat{C}) = 180^{o} - (60^{o} + 40^{o}) = 80^{o}$ .

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có: $\frac{A B}{\sin C} = \frac{B C}{\sin A} = \frac{C A}{\sin B}$ .

Do đó:

$A B = \frac{B C \sin C}{\sin A} = \frac{100 \sin 40^{o}}{\sin 80^{o}} \approx 65, 3$ .

$A C = \frac{B C \sin B}{\sin A} = \frac{100 \sin 60^{o}}{\sin 80^{o}} \approx 87, 9$ .

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 7,5, AC = 15,5, $\hat{A} = 75^{o}$ . Tính diện tích S của tam giác ABC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Giải:

Ta có $S = \frac{1}{2} A B . A C \sin A = \frac{1}{2} .7, 5.15, 5. \sin 75^{o} \approx 56, 1$ .

Bài 3: Mảnh vườn hình tam giác gia đình bạn Nam có chiều dài các cạnh là MN = 20 m, NP = 28 m, MP = 32 m. Hỏi diện tích mảnh vườn của gia đình bạn Nam là bao nhiêu mét vuông (làm tròn đến hàng phần mười)?

Giải:

Ta có $p = \frac{20 + 28 + 32}{2} = 40$ (m).

Diện tích mảnh vườn là: $S = \sqrt{40 (40 - 20) (40 - 28) (40 - 32)} \approx 277, 1$ $(m^{2})$ .

Bài 4: Đứng ở vị trí A trên bờ biển, bạn Minh đo được góc nghiêng so với bờ biển tới một vị trí C trên đảo là 30°. Sau đó đi chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A một khoảng 100 m và đo được góc nghiêng so với bờ biển tới vị trí C đã chọn là 40°. Tính khoảng cách từ vị trí C trên đảo tới bờ biển theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Giải:

Xét tam giác ABC, có $\hat{C} = 180^{o} - (\hat{B} + \hat{A}) = 180^{o} - (40^{o} + 30^{o}) = 110^{o}$ .

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC: $\frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C}$ .

Do đó $A C = \frac{A B \sin B}{\sin C} = \frac{100 \sin 40^{o}}{\sin 110^{o}} \approx 68, 4$ (m).

Xét tam giác vuông AHC có $C H = A C \sin 30^{o} \approx 68, 4.0, 5 \approx 34, 2$ (m).

Vậy khoảng cách từ vị trí C trên đảo tới bờ biển xấp xỉ 34,2 m.