Lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục. Gọi $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz.

- Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.

- Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

- Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.

2. Tọa độ của điểm, tọa độ của vecto trong không gian

Tọa độ của điểm

Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho $\vec{O M} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết M = (x; y; z), trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của M.

Tọa độ của vecto

Trong không gian Oxyz, cho vecto $\vec{a}$ tùy ý. Bộ ba số (x;y;z) duy nhất sao cho $\vec{a} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ được gọi là tọa độ của vecto $\vec{a}$ đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết $\vec{a} = (x; y; z)$ hoặc $\vec{a} (x; y; z)$ .

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $M (x_{M}; y_{M}; z_{M})$ và $N (x_{N}; y_{N}; z_{N})$ . Khi đó:

$\vec{M N} = (x_{N} - x_{M}; y_{N} - y_{M}; z_{N} - z_{M})$ .

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có A(1; 0; 2), B(3; 2; 5), C(7; -3; 9).

a) Tìm tọa độ của $\vec{A A^{'}}$ .

b) Tìm tọa độ của các điểm B’, C’.

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{A A^{'}} = (x_{A^{'}} - x_{A}; y_{A^{'}} - y_{A}; z_{A^{'}} - z_{A}) = (4; 0; - 1)$ .

b) Gọi tọa độ của điểm B’ là (x; y; z) thì $\vec{B B^{'}} = (x - 3; y - 2; z - 5)$ .

Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ABB’A’ là hình bình hành, suy ra $\vec{A A^{'}}$ = $\vec{B B^{'}}$ .

Do đó ${\begin{cases} x - 3 = 4 \\ y - 2 = 0 \\ z - 5 = - 1 \end{cases}$ hay x = 7, y = 2, z = 4.

Vậy B’(7; 2; 4).

Lập luận tương tự suy ra C’(11; -3; 8).