Lý thuyết Hình lăng trụ đứng, hình chóp đều, thể tích của một số hình khối - Toán 11 Cánh diều

1. Hình lăng trụ đứng. Hình lăng trụ đều

- Hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy được gọi là hình lăng trụ đứng.

- Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều gọi là hình lăng trụ đều.

- Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.

Ví dụ: Hình dưới biểu diễn hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD.A'B'C'D'.

Nhận xét:

- Mỗi mặt bên của hình lăng trụ đứng là một hình chữ nhật, mặt phẳng chứa nó vuông góc với mặt đáy.

- Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật.

Nếu mỗi mặt của hình hộp là hình chữ nhật thì hình hộp đó là hình hộp chữ nhật.

Độ dài các đường chéo của hình hộp chữ nhật là bằng nhau.

- Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các mặt là hình vuông.

Hình lập phương là hình lăng trụ tứ giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy.

2. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều

a) Hình chóp đều

Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

Chú ý:

- Hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy là tứ diện đều.

- Đoạn thẳng nối đỉnh với hình chiếu của đỉnh trên mặt đáy gọi là đường cao.

Ví dụ: Hình dưới đây biểu diễn hình chóp tứ giác đều S.ABCD.

Nhận xét: Chân đường cao của hình chóp đều là tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy.

b) Hình chóp cụt đều

Cho hình chóp đều $S . A_{1} A_{2} \dots A_{n}$ . Mặt phẳng $(P)$ song song với đáy của hình chóp và cắt các cạnh $S A_{1}, S A_{2}, \dots, S A_{n}$ lần lượt tại $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}$ .

Phần của hình chóp đã cho giới hạn bởi hai mặt phẳng $(P)$ và $(A_{1} A_{2} A_{3} \dots A_{n})$ được gọi là hình chóp cụt đều $A_{1} A_{2} \dots A_{n} B_{1} B_{2} \dots B_{n}$ .

Trong hình chóp cụt đều $A_{1} A_{2} \dots A_{n} \cdot B_{1} B_{2} \dots B_{n}$ , ta gọi:

- Các đa giác $A_{1} A_{2} \dots A_{n}, B_{1} B_{2} \dots B_{n}$ lần lượt là đáy lớn, đáy nhỏ;

- Các tứ giác $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}, A_{2} A_{3} B_{3} B_{2}, \dots, A_{n} A_{1} B_{1} B_{n}$ là các mặt bên;

- Các đoạn thẳng $A_{1} B_{1}, A_{2} B_{2}, \dots, A_{n} B_{n}$ là các cạnh bên;

- Các cạnh của hai đa giác $A_{1} A_{2} \dots A_{n}, B_{1} B_{2} \dots B_{n}$ là các cạnh đáy.

Ví dụ: Hình dưới đây biểu diễn hình chóp cụt tứ giác đều $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} . B_{1} B_{2} B_{3} B_{4}$ .

Nhận xét:

- Hai đáy của hình chóp cụt đều nằm trên hai mặt phẳng song song và có các cạnh tương ứng song song; đồng thời hai đáy dó là các đa giác đều có cùng số cạnh;

- Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân;

- Các đường thẳng chứa cạnh bên của hình chóp cụt đều cùng đi qua một điểm;

- Đoạn thẳng nối tâm của hai đáy vuông góc với hai đáy của hình chóp cụt đều và gọi là đường cao.

3. Thể tích của một số hình khối

Phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ (kể cả hình lăng trụ ấy) được gọi là khối lăng trụ. Các khối khác được định nghĩa tương tự.

a) Thể tích của khối lăng trụ

- Chiều cao của khối lăng trụ bằng khoảng cách giữa hai mặt đáy.

- Thể tích của khối lăng trụ được tính theo công thức:

$V = S h$

trong đó $h$ là chiều cao, $S$ là diện tích đáy của khối lăng trụ.

b) Thể tích của khối chóp

- Chiều cao của khối chóp bằng khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy.

- Thể tích của khối chóp được tính theo công thức:

$V = \frac{1}{3} S h$

trong đó $h$ là chiều cao, $S$ là diện tích đáy của khối chóp.

c) Thể tích của khối chóp cụt đều

- Chiều cao của khối chóp cụt đều bằng khoảng cách giữa hai mặt đáy.

- Thể tích của khối chóp cụt đều được tính theo công thức:

$V = \frac{1}{3} h (S_{1} + \sqrt{S_{1} S_{2}} + S_{2})$

trong đó $h$ là chiều cao và $S_{1}, S_{2}$ lần lượt là diện tích hai đáy của khối chóp cụt đều.